SMF - Publications - Panoramas et synthèses

Résumé :
Sujets concernant les polynômes hyperboliques à une variable
Le livre expose des résultats récents sur les polynômes hyperboliques (c'est-à-dire à racines réelles) à une variable réelle. Il contient l'étude de la stratification et des propriétés géométriques du domaine dans R^n des valeurs des coefficients a_j pour lesquelles le polynôme P:=x^n+a_1x^n-1++a_n est hyperbolique. Des études semblables sont effectuées par rapport aux polynômes très hyperboliques, c'est-à-dire hyperboliques et ayant des primitives hyperboliques de tout ordre, et par rapport aux polynômes stablement hyperboliques, c'est-à-dire réels de degré et qui deviennent hyperboliques après multiplication par x^k et addition d'un polynôme convenable de degré k-1 . De nouveaux résultats sont présentés qui concernent la composition de Schur-Szegő de polynômes, en particulier hyperboliques, et de certaines fonctions entières. Pour , la question quel peut être l'arrangement des n(n+1)/2 racines des polynômes , P^(1) , , P^(n-1) est abordée à l'aide des ensembles discriminants Res(P^(i),P^(j))=0 .

Mots-clefs : polynôme hyperbolique à une variable, polynôme très hyperbolique, polynôme stablement hyperbolique, stratification, propriété de Whitney, composition de Schur-Szegő, suite (finie) de multiplicateurs, classe de Laguerre-Pólya, ensemble discriminant, arrangement de racines

Abstract:
The book exposes recent results about hyperbolic polynomials in one real variable, i.e. having all their roots real. It contains a study of the stratification and the geometric properties of the domain in R^n of the values of the coefficients a_j for which the polynomial P:=x^n+a_1x^n-1++a_n is hyperbolic. Similar studies are performed w.r.t. very hyperbolic polynomials, i.e. hyperbolic and having hyperbolic primitives of any order, and w.r.t. stably hyperbolic ones, i.e. real polynomials of degree which become hyperbolic after multiplication by x^k and addition of a suitable polynomial of degree k-1 . New results are presented concerning the Schur-Szegő composition of polynomials, in particular of hyperbolic ones, and of certain entire functions. The question what can be the arrangement of the n(n+1)/2 roots of the polynomials , P^(1) , , P^(n-1) is studied for with the help of the discriminant sets Res(P^(i),P^(j))=0 .

Keywords: hyperbolic polynomial in one variable, very hyperbolic polynomial, stably hyperbolic polynomial, stratification, Whitney property, Schur-Szegő composition, (finite) multiplier sequence, Laguerre-Pólya class, discriminant set, root arrangement

Class. math. : 12D10, 26C10, 30C15