Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.80.157.133
Accès aux édit. élec. : SémCong

Panoramas et synthèses

Présentation de la publication

Texte de sollicitation pour les auteurs

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Panoramas et synthèses - Parutions - 52 (2017) 243-284

Parutions < 52

Autour de la conjecture de Zilber-Pink
Philipp Habegger, Gaël Rémond, Thomas Scanlon, Emmanuel Ullmo and Andrei Yafaev
Panoramas et synthèses 52 (2017), xiv+284 pages
Présentation, Sommaire

Généralisations du problème de Lehmer et applications à la conjecture de Zilber-Pink
Gaël Rémond
Panoramas et synthèses 52 (2017), 243-284
Télécharger le document

Résumé :
Nous proposons une présentation unifiée des différents énoncés de minorations de hauteur qui trouvent leur source dans le problème de Lehmer. Elle englobe les versions sur les tores multiplicatifs, les variétés abéliennes, les variantes dites relatives ainsi que le problème de Bogomolov effectif. Cette approche suggère une conjecture dont la formulation est nouvelle même dans le cadre classique des nombres algébriques. Nous examinons ensuite comment ces minorations de hauteur s'appliquent à la conjecture de Zilber-Pink : quitte à retirer un ensembe exceptionnel convenable, l'intersection considérée vérifie une propriété de Northcott et il suffit donc de borner la hauteur pour montrer la finitude.

Mots-clefs : Hauteurs, problème de Lehmer, variétés abéliennes, tores, conjecture de Zilber-Pink.

Abstract:
Generalizations of the Lehmer problem and applications to the Zilber-Pink conjecture
After a classical introduction to heights, we discuss various generalisations of Lehmer's problem. The framework is that of normalized heights on abelian varieties and tori. We include the study of obstruction indices, relative at the same time to an arbitrary ground field and to an algebraic subgroup. We introduce the notion of a Lehmer group to unify our statements. Usual examples correspond to the trivial group (classical Lehmer's problem), the torsion group (relative Lehmer's problem) or the whole group of algebraic points (effective Bogomolov's problem) but we show that also all finite rank subgroups are of interest, even in the one-dimensional case. We then discuss the applications of such height lower bounds to the Zilber-Pink conjecture. We show how all the variants quoted can be used to provide a crucial step toward the conjecture: once one knows (by other methods) that the height of the intersection under consideration is bounded, the Lehmer-like bounds allow to get finiteness.

Keywords: Heights, Lehmer problem, abelian varieties, tori, Zilber-Pink conjecture.

Class. math. : 11G50, 11G10, 14K15.


ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Amoroso, Francesco
On a conjecture of G. Rémond
Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 15 (2016) 599–608
Math Reviews MR3495440
2
Amoroso, Francesco and David, Sinnou
Le problème de Lehmer en dimension supérieure
J. reine angew. Math. 513 (1999) 145–179
Math Reviews MR1713323
3
Amoroso, Francesco and David, Sinnou
Densité des points à coordonnées multiplicativement indépendantes
Ramanujan J. 5 (2001) 237–246
Math Reviews MR1876697
4
Amoroso, Francesco and David, Sinnou
Minoration de la hauteur normalisée dans un tore
J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003) 335–381
Math Reviews MR1990219
5
Amoroso, Francesco and David, Sinnou
Distribution des points de petite hauteur dans les groupes multiplicatifs
Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 3 (2004) 325–348
Math Reviews MR2075986
6
Amoroso, Francesco and Viada, Evelina
Small points on subvarieties of a torus
Duke Math. J. 150 (2009) 407–442
Math Reviews MR2582101
7
Amoroso, Francesco and Viada, Evelina
Small points on rational subvarieties of tori
Comment. Math. Helv. 87 (2012) 355–383
Math Reviews MR2914852
8
Amoroso, Francesco and Zannier, Umberto
A relative Dobrowolski lower bound over abelian extensions
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 29 (2000) 711–727
Math Reviews MR1817715
9
Bertrand, Daniel
Minimal heights and polarizations on group varieties
Duke Math. J. 80 (1995) 223–250
Math Reviews MR1360617
10
Bertrand, Daniel
Duality on tori and multiplicative dependence relations
J. Austral. Math. Soc. Ser. A 62 (1997) 198–216
Math Reviews MR1433209
11
12
Bertrand, Daniel
Unlikely intersections in Poincaré biextensions over elliptic schemes
Notre Dame J. Form. Log. 54 (2013) 365–375
Math Reviews MR3091662
13
Bombieri, Enrico and Habegger, Philipp and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
A note on Maurin's theorem
Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl. 21 (2010) 251–260
Math Reviews MR2677603
14
Bombieri, Enrico and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
Intersecting a curve with algebraic subgroups of multiplicative groups
Int. Math. Res. Not. 1999 (1999) 1119–1140
Math Reviews MR1728021
15
Bombieri, Enrico and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
Finiteness results for multiplicatively dependent points on complex curves
Michigan Math. J. 51 (2003) 451–466
Math Reviews MR2021000
16
Bombieri, Enrico and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
Intersecting curves and algebraic subgroups: conjectures and more results
Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006) 2247–2257
Math Reviews MR2197442
17
Bombieri, Enrico and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
Anomalous subvarieties—structure theorems and applications
Int. Math. Res. Not. 2007 (2007) Art. ID rnm057, 33
Math Reviews MR2359537
18
Bombieri, Enrico and Masser, David and Zannier, Umberto
Intersecting a plane with algebraic subgroups of multiplicative groups
Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 7 (2008) 51–80
Math Reviews MR2413672
19
Bombieri, Enrico and Masser, D. W. and Zannier, Umberto
On unlikely intersections of complex varieties with tori
Acta Arith. 133 (2008) 309–323
Math Reviews MR2457263
20
Carrizosa, María
Problème de Lehmer relatif pour les variétés abéliennes CM
thèse de doctorat, Université Paris VI (2008)
21
Carrizosa, María
Problème de Lehmer et variétés abéliennes CM
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008) 1219–1224
Math Reviews MR2473296
22
Carrizosa, María
Petits points et multiplication complexe
Int. Math. Res. Not. 2009 (2009) 3016–3097
Math Reviews MR2533796
23
Chambert-Loir, Antoine
Relations de dépendance et intersections exceptionnelles
Séminaire Bourbaki, vol. 2010/2011, exposé no 1032, Astérisque 348 (2012) 149–188
Math Reviews MR3050715
24
Chardin, Marc
Une majoration de la fonction de Hilbert et ses conséquences pour l'interpolation algébrique
Bull. Soc. Math. France 117 (1989) 305–318
Math Reviews MR1020108
25
David, Sinnou and Hindry, Marc
Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes de type C. M.
J. reine angew. Math. 529 (2000) 1–74
Math Reviews MR1799933
26
David, Sinnou and Philippon, Patrice
Sous-variétés de torsion des variétés semi-abéliennes
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000) 587–592
Math Reviews MR1799094
27
David, Sinnou and Philippon, Patrice
Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abeliennes. II
Comment. Math. Helv. 77 (2002) 639–700
Math Reviews MR1949109
28
de la Maza, Ana Cecilia and Friedman, Eduardo
Heights of algebraic numbers modulo multiplicative group actions
J. Number Theory 128 (2008) 2199–2213
Math Reviews MR2394816
29
Delsinne, Emmanuel
Le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 42 (2009) 981–1028
Math Reviews MR2567747
30
Dobrowolski, E.
On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial
Acta Arith. 34 (1979) 391–401
Math Reviews MR543210
31
Faltings, Gerd
Diophantine approximation on abelian varieties
Ann. of Math. 133 (1991) 549–576
Math Reviews MR1109353
32
Faltings, Gerd
The general case of S. Lang's conjecture
in Barsotti Symposium in Algebraic Geometry (Abano Terme, 1991)
Perspect. Math. 15 (1994) 175–182
Math Reviews MR1307396
33
Galateau, Aurélien
Une minoration du minimum essentiel sur les variétés abéliennes
Comment. Math. Helv. 85 (2010) 775–812
Math Reviews MR2718139
34
Habegger, Philipp
A Bogomolov property for curves modulo algebraic subgroups
Bull. Soc. Math. France 137 (2009) 93–125
Math Reviews MR2496702
35
Habegger, Philipp
On the bounded height conjecture
Int. Math. Res. Not. 2009 (2009) 860–886
Math Reviews MR2482128
36
Habegger, Philipp
Intersecting subvarieties of abelian varieties with algebraic subgroups of complementary dimension
Invent. math. 176 (2009) 405–447
Math Reviews MR2495768
37
Habegger, Philipp and Pila, Jonathan
O-minimality and certain atypical intersections
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 49 (2016) 813–858
Math Reviews MR3552014
38
Hindry, Marc
Autour d'une conjecture de Serge Lang
Invent. math. 94 (1988) 575–603
Math Reviews MR969244
39
Jacquinot, Olivier and Ribet, Kenneth A.
Deficient points on extensions of abelian varieties by <b>G</b>_m
J. Number Theory 25 (1987) 133–151
Math Reviews MR873872
40
Laurent, Michel
Minoration de la hauteur de Néron-Tate
in Séminaire de théorie des nombres, Paris 1981–82 (Paris, 1981/1982)
Progr. Math. 38 (1983) 137–151
Math Reviews MR729165
41
Laurent, Michel
Équations diophantiennes exponentielles
Invent. math. 78 (1984) 299–327
Math Reviews MR767195
42
Lehmer, D. H.
Factorization of certain cyclotomic functions
Ann. of Math. 34 (1933) 461–479
Math Reviews MR1503118
43
Liebendörfer, Christine and Rémond, Gaël
Hauteurs de sous-espaces sur les corps non commutatifs
Math. Z. 255 (2007) 549–577
Math Reviews MR2270288
44
McQuillan, Michael
Division points on semi-abelian varieties
Invent. math. 120 (1995) 143–159
Math Reviews MR1323985
45
Maurin, Guillaume
Courbes algébriques et équations multiplicatives
Math. Ann. 341 (2008) 789–824
Math Reviews MR2407327
46
Maurin, Guillaume
Conjecture de Zilber-Pink pour les sous-variétés des tores
thèse de doctorat, Université Grenoble I (2010)
47
Maurin, Guillaume
Équations multiplicatives sur les sous-variétés des tores
Int. Math. Res. Not. 2011 (2011) 5259–5366
Math Reviews MR2855071
48
Mumford, David
Abelian varieties
Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; Oxford Univ. Press, London, 1970
Math Reviews MR0282985
49
Pink, Richard
A Common Generalization of the Conjectures of André-Oort, Manin-Mumford, and Mordell-Lang
(2005)
50
Poonen, Bjorn
Mordell-Lang plus Bogomolov
Invent. math. 137 (1999) 413–425
Math Reviews MR1705838
51
Ratazzi, Nicolas
Théorème de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abéliennes sur une courbe elliptique à multiplication complexe
Int. Math. Res. Not. 2004 (2004) 3121–3152
Math Reviews MR2098701
52
Ratazzi, Nicolas
Densité de points et minoration de hauteur
J. Number Theory 106 (2004) 112–127
Math Reviews MR2049595
53
Raynaud, M.
Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion
in Arithmetic and geometry, Vol. I
Progr. Math. 35 (1983) 327–352
Math Reviews MR717600
54
Rémond, Gaël
Intersection de sous-groupes et de sous-variétés. I
Math. Ann. 333 (2005) 525–548
Math Reviews MR2198798
55
Rémond, Gaël
Intersection de sous-groupes et de sous-variétés. II
J. Inst. Math. Jussieu 6 (2007) 317–348
Math Reviews MR2311666
56
Rémond, Gaël
Intersection de sous-groupes et de sous-variétés. III
Comment. Math. Helv. 84 (2009) 835–863
Math Reviews MR2534482
57
Rémond, Gaël and Viada, Evelina
Problème de Mordell-Lang modulo certaines sous-variétés abéliennes
Int. Math. Res. Not. 2003 (2003) 1915–1931
Math Reviews MR1995142
58
Smyth, C. J.
On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer
Bull. London Math. Soc. 3 (1971) 169–175
Math Reviews MR0289451
59
60
Viada, Evelina
Lower bounds for the normalized height and non-dense subsets of subvarieties of abelian varieties
Int. J. Number Theory 6 (2010) 471–499
Math Reviews MR2652892
61
Vojta, Paul
Integral points on subvarieties of semiabelian varieties. I
Invent. math. 126 (1996) 133–181
Math Reviews MR1408559
62
Voutier, Paul
An effective lower bound for the height of algebraic numbers
Acta Arith. 74 (1996) 81–95
Math Reviews MR1367580
63
Zilber, Boris
Exponential sums equations and the Schanuel conjecture
J. London Math. Soc. 65 (2002) 27–44
Math Reviews MR1875133