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Panoramas et synthèses - Parutions - 52 (2017) 167-242

Parutions < 52

Autour de la conjecture de Zilber-Pink
Philipp Habegger, Gaël Rémond, Thomas Scanlon, Emmanuel Ullmo and Andrei Yafaev
Panoramas et synthèses 52 (2017), xiv+284 pages
Présentation, Sommaire

Effective Height Upper Bounds on Algebraic Tori
Philipp Habegger
Panoramas et synthèses 52 (2017), 167-242
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Résumé :
Bornes effectives pour la hauteur sur les tores algébriques
Soit X une sous-variété fermée, irréductible, définie sur Q, dans le tore algébrique G _m^n. Nous donnons un survol des majorations de la hauteur d'un point de X, qui est contenu dans un sous-groupe algébrique de dimension n-X. Les premiers résultats dans cette direction ont été obtenus par Bombieri-Zannier, dans le cas où X est une hypersurface, et par Bombieri-Masser-Zannier quand X est une courbe. Les majorations de ce type sont utiles pour résoudre quelques cas de la conjecture de Zilber-Pink. L'auteur a démontré une borne pour la hauteur, quand X est de dimension quelconque, en 2009. Nous explicitons ici une majoration effective.

Mots-clefs : Hauteurs, sous-variétés de tores algébriques, bornes explicites, intersections exceptionnelles, sous-groupe algébrique, géométrie tropicale.

Abstract:
Let X be an irreducible closed subvariety defined over Q of the algebraic torus G _m^n. We give an overview on what is known on upper bounds for the height when intersecting X with an algebraic subgroup of G _m^n that has dimension n-X. Early general results in this directy were obtained by Bombieri-Zannier if X is a hypersurface and Bombieri-Masser-Zannier if X is a curve. Such height bounds are useful in the context of the Zilber-Pink Conjecture. The author proved a height bound for X of arbitrary dimension in 2009. In this paper we give an effective and explicit height upper bound.

Keywords: Heights, subvarieties of the algebraic torus, explicit bounds, unlikely intersections, algebraic subgroups, tropical geometry.

Class. math. : 11G50; 14K15, 14G40, 14J20, 14T05.


ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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The intersection of a curve with a union of translated codimension-two subgroups in a power of an elliptic curve
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Math Reviews MR2407116
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Viada, Evelina
Nondense subsets of varieties in a power of an elliptic curve
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Exponential sums equations and the Schanuel conjecture
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Ullmo, Emmanuel
Structures spéciales et problème de Zilber-Pink
this volume
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Ullmo, Emmanuel
Autour de la conjecture d'André-Oort
this volume
74
Rémond, Gaël
Généralisations du problème de Lehmer et applications à la conjecture de Zilber-Pink
this volume
75
Scanlon, Thomas
O-minimality as an approach to the André-Oort conjecture
this volume
76
Yafaev, Andrei
Special points and intersections in Abelian and Shimura varieties
this volume