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Panoramas et synthèses - Parutions - 52 (2017)

Parutions < 52

Around the Zilber-Pink conjecture
Philipp Habegger, Gaël Rémond, Thomas Scanlon, Emmanuel Ullmo and Andrei Yafaev
Panoramas et synthèses 52 (2017), xiv+284 pages
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Sommaire

Résumé :
Autour de la conjecture de Zilber-Pink
Suite aux travaux de Faltings et Vojta démontrant les conjectures de Mordell et Lang sur les variétés abéliennes et à ceux de Raynaud démontrant la conjecture de Manin-Mumford, de nombreuses nouvelles questions diophantiennes sont apparues, souvent décrites comme des questions d’intersections exceptionnelles. L’arithmétique des espaces de modules de variétés abéliennes et plus généralement des variétés de Shimura a parallèlement fait l’objet de nombreux travaux, dont un axe est constitué par la conjecture d’André-Oort. Ces deux thèmes peuvent être placés dans un même cadre – la conjecture de Zilber-Pink. Ce volume propose une introduction à ces problèmes et aux techniques variées qui sont employées : géométrie, théorie des hauteurs, groupes réductifs et théorie de Hodge, variétés de Shimura, théorie des modèles à travers la notion de structures o-minimales. Il contient les textes correspondant aux cours donnés au CIRM, en mai 2011, par Philipp Habegger, Gaël Rémond, Thomas Scanlon, Emmanuel Ullmo et Andrei Yafaev et une ample introduction rédigée par E. Ullmo, axée sur la notion de bi-algébricité, visant à présenter le cadre général.

Mots-clefs : Bi-algébricité, bornes explicites, conjecture d’André-Oort, conjecture de Manin-Mumford, conjecture de Zilber-Pink, géométrie diophantienne, géométrie tropicale, hau- teurs, intersections exceptionnelles, multiplication complexe, o-minimalité, problème de Lehmer, sous-groupe algébrique, sous-variétés de tores algébriques, théorème de Pila-Wilkie, théorie ergodique, transcendance fonctionnelle, variétés abéliennes, variétés de Shimura.

Abstract:
Following Faltings and Vojta’s work proving the Mordell-Lang conjecture for abelian varieties and Raynaud’s work proving the Manin-Mumford conjecture, many new Diophantine questions appeared, often described as problems of unlikely intersections. The arithmetic of moduli spaces of abelian varieties and more generally Shimura varieties has been parallely developed, around the central André-Oort conjecture. These two themes can be placed in a common frame—the Zilber-Pink conjecture. This volume proposes an introduction to these problems and to the various techniques used : geometry, height theory, reductive groups and Hodge theory, Shimura varieties, model theory via the notion of o-minimal structure. It contains texts corresponding to courses presented at CIRM, in May 2011, by Philipp Habegger, Gaël Rémond, Thomas Scanlon, Emmanuel Ullmo and Andrei Yafaev and an ample introduction by E. Ullmo, centered on the notion of bi-algebraicity, aiming at a presentation of the general setting.

Keywords: Bi-algebraicity, Zilber-Pink conjecture, functional transcendence, o-minimality, Pila-Wilkie theorem, Shimura varieties, abelian varieties, complex multiplication, algebraic tori, André-Oort conjecture, Manin-Mumford conjecture, Diophantine geometry, heights, unlikely intersections, ergodic theory, tropical geometry, explicit bounds, Lehmer problem, sub varieties of algebraic tori, algebraic subgroups.

Class. math. : 03C64, 11G10, 11G15, 11G50, 11J81, 14G35, 14K15, 14G40, 14J20, 14T05, 22E40.


ISBN : 978-2-85629-856-5
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique