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Panoramas et synthèses - Parutions - 48 (2016)

Parutions < 48

Lectures on quantum topology in dimension three
Tuan T. Q. Lê, Christine Lescop, Robert Lipshitz, Paul Turner
Panoramas et synthèses 48 (2016), x+174 pages
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Sommaire

Résumé :
Topologie quantique en dimension trois
Ce volume comprend les trois cours de la session des États de la Recherche de la SMF Topologie géométrique et quantique en dimension 3 de juin 2014, dédiés à présenter des progrès récents sur l'étude d'invariants quantiques et analytiques des variétés de dimension 3 et de leurs entrelacs. Le cours très accessible de Thang Lê y fait le point sur la conjecture AJ qui lie des généralisations des polynômes de Jones au polynôme A de Cooper, Culler, Gillet, Long et Shalen défini à partir des espaces de représentations des groupes fondamentaux des extérieurs de nœuds dans SL_2(C). En 1999, Khovanov a associé aux nœuds de l'espace ambiant une homologie dont la caractéristique d'Euler est le polynôme de Jones. Le cours de Paul Turner présente cette catégorification du polynôme de Jones, ses applications et ses développements récents en guidant ses lecteurs dans la littérature abondante du sujet. Le cours de Robert Lipshitz présente l'homologie de Heegaard Floer qu'Osváth et Szábo ont introduite en 2004 avec certaines de ses applications les plus spectaculaires et les manières les plus efficaces connues de les obtenir. Ces cours sont précédés d'une présentation partielle, accessible à des non-spécialistes, du contexte dans lequel s'inscrivent les cours proposés.

Mots-clefs : Homologie de Khovanov, conjecture AJ, homologie de Heegaard Floer, nœuds, entrelacs, polynôme de Jones, variétés de dimension 3

Abstract:
This monograph contains three lecture series from the SMF school ``Geometric and quantum topology in dimension 3'', which was held at CIRM in June 2014. These lectures present recent progress on the study of 3-manifold and link invariants. Thang Lê describes the state of the art about the AJ conjecture, which relates generalizations of the Jones polynomial to the Cooper, Culler, Gillet, Long and Shalen A-polynomial, which is defined from SL_2(C)-representation spaces of link exterior fundamental groups. In 1999, Khovanov defined a homology theory for knots of R^3 whose Euler characteristic is the Jones polynomial. Paul Turner presents the latest developments and the applications of this categorification of the Jones polynomial in a useful guide of the literature around this extensively studied topic. Robert Lipshitz presents the famous Osváth Szábo Heegaard Floer homology theories together with efficient sketches of proofs of some of their spectacular applications. These lectures are introduced by a partial survey of the history of these invariants, written by Christine Lescop.

Keywords: Khovanov homology, AJ conjecture, Heegaard Floer homology, knots, links, Jones polynomial, 3-manifolds

Class. math. : 57M27, 57M25, 57N10


ISBN : 978-2-85629-842-8
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique