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Panoramas et synthèses - Parutions - 33 (2011)

Parutions

Topics on Hyperbolic Polynomials in One Variable
Vladimir Petrov Kostov
Panoramas et synthèses 33 (2011)
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Résumé :
Sujets concernant les polynômes hyperboliques à une variable
Le livre expose des résultats récents sur les polynômes hyperboliques (c'est-à-dire à racines réelles) à une variable réelle. Il contient l'étude de la stratification et des propriétés géométriques du domaine dans R^n des valeurs des coefficients a_j pour lesquelles le polynôme P:=x^n+a_1x^n-1++a_n est hyperbolique. Des études semblables sont effectuées par rapport aux polynômes très hyperboliques, c'est-à-dire hyperboliques et ayant des primitives hyperboliques de tout ordre, et par rapport aux polynômes stablement hyperboliques, c'est-à-dire réels de degré n et qui deviennent hyperboliques après multiplication par x^k et addition d'un polynôme convenable de degré k-1. De nouveaux résultats sont présentés qui concernent la composition de Schur-Szegő de polynômes, en particulier hyperboliques, et de certaines fonctions entières. Pour n5, la question quel peut être l'arrangement des n(n+1)/2 racines des polynômes P, P^(1), , P^(n-1) est abordée à l'aide des ensembles discriminants Res(P^(i),P^(j))=0.

Mots-clefs : polynôme hyperbolique à une variable, polynôme très hyperbolique, polynôme stablement hyperbolique, stratification, propriété de Whitney, composition de Schur-Szegő, suite (finie) de multiplicateurs, classe de Laguerre-Pólya, ensemble discriminant, arrangement de racines

Abstract:
The book exposes recent results about hyperbolic polynomials in one real variable, i.e. having all their roots real. It contains a study of the stratification and the geometric properties of the domain in R^n of the values of the coefficients a_j for which the polynomial P:=x^n+a_1x^n-1++a_n is hyperbolic. Similar studies are performed w.r.t. very hyperbolic polynomials, i.e. hyperbolic and having hyperbolic primitives of any order, and w.r.t. stably hyperbolic ones, i.e. real polynomials of degree n which become hyperbolic after multiplication by x^k and addition of a suitable polynomial of degree k-1. New results are presented concerning the Schur-Szegő composition of polynomials, in particular of hyperbolic ones, and of certain entire functions. The question what can be the arrangement of the n(n+1)/2 roots of the polynomials P, P^(1), , P^(n-1) is studied for n5 with the help of the discriminant sets Res(P^(i),P^(j))=0.

Keywords: hyperbolic polynomial in one variable, very hyperbolic polynomial, stably hyperbolic polynomial, stratification, Whitney property, Schur-Szegő composition, (finite) multiplier sequence, Laguerre-Pólya class, discriminant set, root arrangement

Class. math. : 12D10, 26C10, 30C15


ISBN : 978-2-85629-346-1
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique