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Panoramas et synthèses - Parutions - 32 (2010)

Parutions

Quelques interactions entre analyse, probabilités et fractals
Julien Barral,Jean Bertoin, Aihua Fan,Stéphane Jaffard, Jacques Peyrière, Julien Berestycki, Bénédicte Haas Grégory Miermont
Panoramas et synthèses 32 (2010), x+243 pages
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Résumé :
Suite aux travaux fondateurs de Benoît Mandelbrot dans les années 1970, les concepts issus de la géométrie fractale ont donné une nouvelle impulsion à plusieurs secteurs des mathématiques. Le présent ouvrage a pour but de présenter des synthèses sur deux sujets où des avancées importantes ont eu lieu durant les quinze dernières années: les processus multiplicatifs et les fragmentations. Le premier est issu de l'analyse harmonique (les produits de Riesz) et le second d'un modèle probabiliste construit par N. Kolmogorov pour rendre compte de constatations expérimentales sur la fragmentation des roches; ils présentent cependant des analogies, et utilisent de nombreux outils mathématiques communs, issus de l'étude des fractales aléatoires. Le premier texte introduit les concepts de base en analyse fractale. Après une mise en perspective historique montrant comment ces notions sont apparues et ont interagi, les définitions des dimensions fractionnaires sont introduites et les outils pertinents de théorie de la mesure sont rappellés. On étudie ensuite des exemples simples de fonctions et mesures multifractales. Enfin, quelques éléments sont fournis sur les systèmes d'ubiquité, qui occupent une place grandissante dans ce domaine. Le second texte est consacré aux propriétés géométriques fines de mesures obtenues comme limites de processus multiplicatifs : produits de Riesz, mesures de Gibbs, mesures auto-similaires, et chaos multiplicatifs. On commence par décrire leur origine et leurs propriétés essentielles. Puis les notions de dimensions d'une mesure et d'analyse multifractale sont présentées dans un cadre général et illustrées sur les exemples précédents. Enfin, on montre l'efficacité de ces mesures pour la description de la percolation sur les arbres, et de certains recouvrements dynamiques ou aléatoires. Le troisième texte décrit l'évolution d'objets qui se désagrègent de façon aléatoire au cours du temps, et dont les fragments évoluent indépendamment. Une hypothèse d'auto-similarité statistique leur confère une structure de fractale aléatoire. Les fondements de la théorie des fragmentations sont présentés, et on montre que la loi de tels processus est caractérisée par un indice d'auto-similarité, une mesure de dislocation et un coefficient d'érosion. Puis, on montre comment coder la généalogie du processus de fragmentation à l'aide d'un arbre aléatoire muni d'une métrique. Enfin, on se penche sur la vitesse à laquelle décroît le fragment contenant un point donné. Ceci conduit à étudier le spectre multifractal des vitesses de fragmentation.

Mots-clefs : Approximation diophantienne, arbres aléatoires, cascade multiplicative, chaos multiplicatif, chaîne de Markov, dimension de boîte, dimension de Hausdorff, dimension de packing, fonction multifractale, formalisme multifractal, fractales, fragmentation aléatoire, martingales, mesure multifractale, mesures, processus de branchement, produits de Riesz, recouvrements, régularité ponctuelle, spectre multifractal, systèmes dynamiques, ubiquité.

Abstract:
Some Interactions between Analysis, Probabilities and Fractals
Following the seminal contributions of Benoît Mandelbrot in the 70s, concepts derived from fractal geometry gave a new impulse to several areas of mathematics. The goal of this volume is to present syntheses on two subjects where important advances occurred in the last 15 years: multiplicative processes and fragmentation. One arose from harmonic analysis (Riesz products) and the other from a probabilistic model proposed by N. Kolmogorov in order to explain experimental observations on rock fragmentation; however they share analogies and use common mathematical tools issued from the study of random fractals. The first text introduces basic concepts in fractal analysis. It starts with the description of the historical developments that led to their introduction and interactions. The definitions of fractional dimensions are introduced, and pertinent tools in geometric measure theory are recalled. Examples of multifractal functions and measures are studied. Finally, ubiquity systems, which play an increasing role in multifractal analysis, are introduced. The second text deals with fine geometric properties of measures obtained as limits of multiplicative processes. One starts by showing in which contexts they appear, and what are their key properties. The notions of dimension of a measure and of multifractal analysis are introduced in a general setting, and illustrated on the aforementioned examples. Finally, one shows the efficiency of these measures for the description of percolation on trees, and for dynamical or random coverings. The third text describes the time evolution of objects that disaggregate in a random way, and the fragments of which evolve independently. A statistical self-similarity assumption endows them with a structure of random fractal. The foundations of fragmentation theory are given, and the laws of these processes are shown to be characterized by a self-similarity index, a dislocation measure and an erosion coefficient. Then, one considers a random tree endowed with a distance, that allows to describe the genealogy of the process. Finally, one studies the speed with which the fragment containing a given point decays. This leads to the introduction of a multifractal spectrum of speeds of fragmentation.

Keywords: Box dimension, coverings, Diophantine approximation, dynamical systems, forking process, fractal sets, Hausdorff dimension, Markov chain, martingales, measures, multifractal formalism, multifractal function, multifractal measure, multifractal spectrum, multiplicative cascade, multiplicative chaos, packing dimension, pointwise regularity, random fragmentation, random trees, Riesz products, ubiquity.

Class. math. : 11J83, 11K06, 26A15, 26A30, 28A78, 28A80, 28A80, 37B40, 43A25, 60G18, 60J80


ISBN : 978-2-85629-313-3
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique