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Panoramas et synthèses - Parutions - 31 (2010) 155-221

Parutions < 31

Variétés rationnellement connexes : aspects géométriques et arithmétiques
Laurent Bonavero, Jean-Louis Colliot-Thélène, Brandan Hasset, Jason Starr, Olivier Wittenberg
Panoramas et synthèses 31 (2010), x+221 pages
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Présentation, Sommaire

Rational points of rationally simply connected varieties
Jason Michael Starr
Panoramas et synthèses 31 (2010), 155-221

Résumé :
Points rationnels des variétés rationnellement simplement connexes
Nous présentons un rapport détaillé sur un travail commun avec A. J. de Jong et Xuhua He, travail qui établit, dans le cas déployé, la conjecture II de Serre sur un corps K de fonctions de deux variables sur un corps k algébriquement clos : pour tout groupe algébrique G semisimple simplement connexe sur k, tout G-torseur sur K a un K-point. C'est une conséquence d'un théorème (en caractéristique nulle) selon lequel une variété X projective et lisse sur K possède un K-point si d'une part il n'y a pas d'obstruction élémentaire (comme définie par Colliot-Thélène et Sansuc) et si d'autre part certaines hypothèses géométriques sont satisfaites – les plus importantes étant que la fibre générique géométrique est rationnellement simplement connexe, et qu'elle possède une surface très tordante.

Mots-clefs : Vari'et'es rationnellement connexes, groupes alg'ebriques semi-simples, torseurs

Abstract:
This is a survey of joint work with A. J. de Jong and Xuhua He proving Serre's Conjecture II for a function field K of a surface over an algebraically closed field k in the split case: for every simply connected, semisimple algebraic group G over k, every G-torsor over K has a K-point. This follows from a theorem, in characteristic 0, saying that a smooth, projective variety X over K has a K-point if the elementary obstruction of Colliot-Thélène and Sansuc vanishes, and if certain additional hypotheses hold—most importantly the geometric generic fiber must be rationally simply connected and must have a very twisting surface.

Keywords: Rationally connected varieties, semisimple algebraic groups, torsors

Class. math. : 14M20, 14D05, 12G05


ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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