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Panoramas et synthèses - Parutions - 31 (2010)

Parutions < 31

Variétés rationnellement connexes : aspects géométriques et arithmétiques
Laurent Bonavero, Brendan Hassett, Jason Starr, Olivier Wittenberg (avec une introduction de Jean-Louis Colliot-Thélène)
Panoramas et synthèses 31 (2010), x+221 pages
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Sommaire

Résumé :
Depuis les années 1990, les variétés rationnellement connexes jouent un rôle important dans la classification des variétés algébriques complexes. Dans les années 2000, on a commencé à étudier leurs propriétés arithmétiques. Ce volume, issu d'une rencontre États de la recherche (CNRS/SMF) organisée par J.-L. Colliot-Thélène, O. Debarre et A. Höring à Strasbourg en mai 2008, couvre un grand nombre des résultats obtenus dans cette direction. On y trouvera aussi de nombreuses questions ouvertes. L'article de L. Bonavero décrit les propriétés fondamentales des variétés rationnellement connexes sur un corps algébriquement clos et offre une ouverture sur la géométrie birationnelle moderne. L'article de O. Wittenberg s'attache aux propriétés arithmétiques des variétés rationnellement connexes, tout spécialement sur les corps locaux et sur les corps finis (méthodes de déformation et méthodes cohomologiques). Sur les corps de fonctions d'une variable sur un corps algébriquement clos, une série de travaux porte sur la propriété d'approximation faible. Le rapport de B. Hassett décrit ces travaux et les techniques de déformation employées. La notion de variété rationnellement simplement connexe admet plusieurs variantes. L'article de J. Starr étudie les fibrations en de telles variétés au-dessus d'une surface complexe. Il culmine avec une démonstration partiellement simplifiée du théorème de A. J. de Jong, J. Starr et X. He : la conjecture II de Serre sur les espaces principaux homogènes vaut sur un corps de fonctions de deux variables sur les complexes.

Mots-clefs : R-équivalence, approximation faible, corps (C_i), courbes rationnelles, groupes algébriques semi-simples, surfaces del Pezzo, torseurs, variétés rationnellement connexes, zéro-cycles

Abstract:

Over the last twenty years, rationally connected varieties have played an important rôle in the classification program of higher dimensional varieties. Over the last ten years a number of their arithmetic properties have been discovered. It is the ambition of this volume to report on many of these advances, as well as on a number of open questions. The volume gathers the contributions of the four speakers of a workshop ``Etats de la Recherche'' (CNRS/SMF) which was organized by J.-L. Colliot-Thélène, O. Debarre and A. Höring in Strasbourg, in May 2008. The fundamental geometric properties of rationally connected varieties are discussed in L. Bonavero's contribution, which also offers an opening on modern birational classification techniques. O. Wittenberg surveys the arithmetic properties of rationally connected varieties, mostly over local fields and over finite fields (deformation techniques and cohomological techniques). B. Hassett reports on the weak approximation property for families of rationally connected varieties over a complex curve. The emerging notion of simply rationally connected variety is at the heart of J. Starr's contribution. This starts with a study of sections of families of such varieties over a complex surface. It culminates with a partly simplified proof of the theorem by de A. J. Jong, J. Starr and X. He: Serre's Conjecture II for principal homogeneous spaces holds over function fields in two variables over the complex field.

Keywords: R-equivalence, (C_i) fields, del Pezzo surfaces, rational curves, rationally connected manifolds, rationally connected varieties, semisimple algebraic groups, torsors, weak approximation, zero-cycles

Class. math. : 11G25, 12G05, 14C15, 14D05, 14D22, 14E05, 14E30, 14G05, 14J40, 14J45, 14M20, 14M22


ISBN : 978-2-85629-339-3
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique