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Panoramas et synthèses - Parutions - 24 (2007)

Parutions < 24

Arc Spaces and Additive Invariants in Real Algebraic and Analytic Geometry
Michel Coste, Toshizumi Fukui, Krzysztof Kurdyka, Clint McCrory, Adam Parusiński, Laurentiu Paunescu
Panoramas et synthèses 24 (2007), xxii+126 pages
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Sommaire

Résumé :
Espaces des arcs et invariants additifs en géométrie algébrique et analytique réelle
Nous présentons dans ce volume de nouvelles orientations en géométrie algébrique réelle qui reposent sur l'étude des espaces d'arcs et des invariants additifs d'ensembles algébriques réels. En général, la géométrie algébrique réelle utilise des méthodes qui lui sont propres et qui différent d'habitude beaucoup des méthodes plus largement connues de la géométrie algébrique complexe. Ce trait est particulièrement apparent dans l'étude des propriétés topologiques et géométriques de base des ensembles algébriques réels; les structures algébriques fécondes sont d'habitude cachées et ne peuvent pas être retrouvées à partir de la topologie. L'utilisation des espaces d'arcs et des invariants additifs remédie en partie à ce désavantage. De plus, ces méthodes sont souvent parallèles à des approches de base en géométrie algébrique complexe. Notre présentation contient la construction d'invariants topologiques locaux des ensembles algébriques réels au moyen de fonctions algébriquement constructibles. Cette technique est étendue à la classe plus grande des ensembles symétriques par arc. De plus, cette dernière classe définit une topologie naturelle qui est intermédiaire entre la topologie de Zariski et la topologie euclidienne. En théorie de l'équisingularité réelle, l'équivalence analytique après éclatement (blow-analytic equivalence) de Kuo fournit une relation d'équivalence pour les germes de fonctions analytiques réelles qui correspond à l'équivalence topologique dans le cadre analytique complexe. Parmi d'autres applications, la géométrie des ensembles symétriques par arc fournit, via l'approche par l'intégration motivique, de nouveaux invariants pour cette équivalence, et permet d'obtenir des premiers résultats de classification. Ce volume contient deux cours et deux articles de synthèse qui sont conçus pour un large public, en particulier pour les étudiants et les jeunes chercheurs.

Mots-clefs : Ensembles algébriques réels, ensembles semi-algébriques, espaces d'arcs, ensembles symétriques par arcs, fonctions arc-analytiques, équivalence blow-analytique, intégrale d'Euler, fonctions algébriquement constructibles, invariants topologiques

Abstract:
In this volume we present some new trends in real algebraic geometry based on the study of arc spaces and additive invariants of real algebraic sets. Generally, real algebraic geometry uses methods of its own that usually differ sharply from the more widely known methods of complex algebraic geometry. This feature is particularly apparent when studying the basic topological and geometric properties of real algebraic sets; the rich algebraic structures are usually hidden and cannot be recovered from the topology. The use of arc spaces and additive invariants partially obviates this disadvantage. Moreover, these methods are often parallel to the basic approaches of complex algebraic geometry. Our presentation contains the construction of local topological invariants of real algebraic sets by means of algebraically constructible functions. This technique is extended to the wider family of arc-symmetric semialgebraic sets. Moreover, the latter family defines a natural topology that fills a gap between the Zariski topology and the euclidean topology. In real equisingularity theory, Kuo's blow-analytic equivalence of real analytic function germs provides an equivalence relation that corresponds to topological equivalence in the complex analytic set-up. Among other applications, arc-symmetric geometry, via the motivic integration approach, gives new invariants of this equivalence, allowing some initial classification results. The volume contains two courses and two survey articles that are designed for a wide audience, in particular students and young researchers.

Keywords: Real algebraic sets, semi-algebraic sets, arc spaces, arc-symmetric sets, arc-analytic mappings, blow-analytic equivalence, Euler integral, algebraically constructible functions, topological invariants

Class. math. : 14Pxx, 14P05, 14P10, 14P25, 32B20, 32C05, 58A07


ISBN : 978-2-85629-236-5
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique