SMF - Publications - Panoramas et Synthèses - Parutions - 21

Dynamique des difféomorphismes conservatifs des surfaces : un point de vue topologique
Sylvain Crovisier - John Franks - Jean-Marc Gambaudo - Patrice Le Calvez
Panoramas et Synthèses 21 (2006), xxxiv+142 pages
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Knots, Flows, and Fluids
Jean-Marc Gambaudo
Panoramas et Synthèses 21 (2006), 53-103

Résumé :
Nœuds, Flots, et Fluides
Cet article s'organise autour de trois directions fortement corrélées. La première donne une description de divers invariants topologiques associés à un flot préservant le volume sur une variété de dimension 3. Ces invariants sont reliés aux propriétés d'enlacement moyen asymptotique des orbites. La deuxième direction concerne l'étude de l'espace des configurations d'un fluide incompressible sur une variété orientée. Cet espace peut être paramétré par le groupe des difféomorphismes isotopes à l'identité, préservant une forme volume. Ce groupe est équipé d'une métrique naturelle invariante à droite que l'on étudie tant du point de vue global (diamètre du groupe) que du point de vue géodésique. Le cas des groupes de difféomorphismes préservant une forme symplectique est également abordé en suivant une même approche. Une attention toute particulière est portée au cas de la dimension 2 où les deux points de vue se rejoignent. Dans une troisième direction, on étudie la structure du groupe des difféomorphismes isotopes à l'identité et préservant une forme d'aire sur les surfaces compactes orientées. Selon le genre de la surface, on décrit le sous-groupe des commutateurs et on montre sur ce sous-groupe que la fonction longueur des commutateurs n'est pas bornée, un résultat obtenu en collaboration avec Étienne Ghys.

Mots clefs : Fluides incompressibles, groupes de difféomorphismes, tresses, enlacement asymptotique

Abstract:
This paper is organized along three directions which are strongly interconnected. The first one is a review of topological invariants associated with flows in 3 dimensional manifolds. These invariants are related to averaged asymptotic linking properties of orbits. The second one is the study of the space of configurations of an incompressible fluid on an oriented manifold. This space can be parametrized by the group of diffeomorphisms isotopic to the identity which preserve a given volume form. This group can be equipped with a natural right invariant metric that we analyse both from the global point of view (diameter of the group) and the geodesic one. Extensions to the case of groups of diffeomorphisms preserving a given symplectic form are also reviewed. A particular attention is paid to the case when the dimension is 2 where both points of view coincide. In the third part, we study the structure of the group of diffeomorphisms on a compact oriented surface which are isotopic to the identity and preserve a given area form. According to the genus of the surface, we describe the subgroup generated by the commutators and show that on this subgroup the commutator length is unbounded, a result obtained in collaboration with Étienne Ghys.

Key words: Incompressible fluids, diffeomorphisms groups, braids, asymptotic linking

Class. math. : 57S05, 37E30, 76W05, 76B03, 20F36

ISBN : 978-2-85629-220-4
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique