SMF - Publications - Panoramas et Synthèses - Parutions - 21

Dynamique des difféomorphismes conservatifs des surfaces : un point de vue topologique
Sylvain Crovisier - John Franks - Jean-Marc Gambaudo - Patrice Le Calvez
Panoramas et Synthèses 21 (2006), xxxiv+142 pages
Acheter l'ouvrage

Identity isotopies on surfaces
Patrice Le Calvez
Panoramas et Synthèses 21 (2006), 105-142

Résumé :
Étude dynamique des homéomorphismes de surface isotopes à l'identité
Nous allons établir une version feuilletée équivariante du théorème classique de translation plane de Brouwer. Nous expliquerons ensuite comment utiliser ce résultat pour étudier les homéomorphismes de surfaces. En particulier, nous montrerons qu'un difféomorphisme d'une surface compacte qui est le temps 1 d'une isotopie hamiltonienne admet une infinité d'orbites périodiques contractiles, obtenant ainsi une réponse positive, dans le cas des surfaces, à une conjecture plus générale de C. Conley. Nous établirons d'autres résultats sur le nombre d'enlacement des points fixes et des points périodiques d'un homéomorphisme de surface. Nous conclurons cet article en introduisant les décompositions en briques libres et expliquerons comment se prouve le théorème de Brouwer feuilleté équivariant à partir de ces décompositions.

Mots clefs : Homéomorphisme de Brouwer, homéomorphisme hamiltonnien, point périodique, feuilletage de surface, nombre de rotation

Abstract:
We will state an equivariant foliated version of the classical Brouwer Plane Translation Theorem and will explain how to apply this result to the study of homeomorphisms of surfaces. In particular we will explain why a diffeomorphism of a closed oriented surface of genus $\geq 1$ that is the time-one map of a time dependent Hamiltonian vector field has infinitely many contractible periodic orbits. This gives a positive answer in the case of surfaces to a more general question stated by C. Conley. We will state other results about linking numbers of fixed points or periodic orbits of homeomorphisms of surfaces. We will conclude this article by introducing the free brick decompositions and explaining how to use these decompositions to get the equivariant foliated version of the Brouwer Plane Translation Theorem.

Key words: Brouwer homeomorphism, Hamiltonian homeomorphism, periodic point, foliation on a surface, rotation number

Class. math. : 37E30, 37E35, 37E45

ISBN : 978-2-85629-220-4
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique