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Déformation, Quantification, Théorie de Lie
Alberto Cattaneo - Bernhard Keller - Charles Torossian - Alain Bruguières
Panoramas et Synthèses 20 (2005), viii+186 pages
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Résumé :
En 1997, M. Kontsévich démontra que toute variété de Poisson admet une quantification formelle, canonique à équivalence près, résolvant ainsi un problème ancien de physique mathématique. Par sa démonstration, et l'interprétation qu'il fit d'une démonstration ultérieure due à Tamarkin, M. Kontsévich a ouvert des voies de recherche nouvelles en théorie de Lie, groupes quantiques, théorie des déformations, théorie des opérades... et révélé des liens fascinants entre ces sujets et la théorie des nombres, la théorie des nœuds et la théorie des motifs. Ce travail sur la quantification par déformation va continuer à influencer ces domaines dans les années à venir. Dans les trois parties de ce volume, nous allons 1) présenter les résultats principaux de la prépublication de 1997 de Kontsévich et esquisser son interprétation de l'approche de Tamarkin, 2) montrer la pertinence du théorème de Kontsévich pour la théorie de Lie et 3) expliquer l'idée provenant de la théorie des cordes topologiques qui a inspiré l'approche de Kontsévich. Un appendice est consacré à la géométrie des espaces de configurations.
Mots clefs : Théorie des déformations, quantification par déformation, physique mathématique, variété de Poisson, cohomologie de Hochschild, algèbre de Lie, isomorphisme de Duflo, formule de Campbell-Baker-Hausdorff, théorie des cordes, espace de configurations.
Abstract:
Deformation, Quantization, Lie theory
In 1997, M. Kontsevich proved that every Poisson manifold admits a formal quantization, canonical up to equivalence. In doing so he solved a longstanding problem in mathematical physics. Through his proof and his interpretation of a later proof given by Tamarkin, he also opened up new research avenues in Lie theory, quantum group theory, deformation theory and the study of operads... and uncovered fascinating links of these topics with number theory, knot theory and the theory of motives. Without doubt, his work on deformation quantization will continue to influence these fields for many years to come. In the three parts of this volume, we will 1) present the main results of Kontsevich's 1997 preprint and sketch his interpretation of Tamarkin's approach, 2) show the relevance of Kontsevich's theorem for Lie theory and 3) explain the idea from topological string theory which inspired Kontsevich's proof. An appendix is devoted to the geometry of configuration spaces.
Key words: Deformation theory, deformation quantization, mathematical physics, Poisson manifold, Hochschild cohomology, Lie algebra, Duflo isomorphism, Campbell-Baker-Hausdorff formula, string theory, configuration space.
Class. math. : Primaire : 53D55; Secondaires : 16E40, 53D17, 81S10, 22E45
ISBN : 2-85629-183-X
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique et Ministère de la Culture et de la Communication
