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Panoramas et Synthèses - Parutions - 16 - Résumé

Parutions16

Rational Representations, the Steenrod Algebra and Functor Homology
Vincent Franjou - Eric M. Friedlander - Teimuraz Pirashvili - Lionel Schwartz
Panoramas et Synthèses 16 (2003), xxii+132 pages
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Résumé :
Représentations rationnelles, algèbre de Steenrod et homologie des foncteurs
Ce livre traite d'algèbre homologique dans les catégories de foncteurs, avec une attention particulière pour les foncteurs polynomiaux entre espaces vectoriels sur un corps fini. Il en présente des applications dans trois domaines des mathématiques: la théorie des représentations, la topologie algébrique et la K-théorie. À chacune de ces applications, les catégories de foncteurs apportent des avancées théoriques et des outils de calcul puissants.
D'abord, T. Pirashvili expose les bases de la théorie. E. Friedlander l'applique alors aux représentations rationnelles des groupes linéaires. L. Schwartz établit les relations de l'algèbre de Steenrod avec les catégories de foncteurs. Enfin, V. Franjou et T. Pirashvili présentent un théorème de Scorichenko: la K-théorie stable est l'homologie des foncteurs.

Mots clefs : Twist de Frobenius, complexe de Koszul, complexe de de Rham, foncteur polynomial, groupe d'extensions, schéma en groupes, algèbre de Hopf, groupe algébrique, algèbre de Lie restreinte, groupe linéaire, représentation rationnelle, algèbre de Schur, poids, algèbre de Steenrod, modules instables, K-théorie, bifoncteur, homologie de MacLane, homologie des petites catégories, suites spectrales

Abstract:
The book presents aspects of homological algebra in functor categories, with emphasis on polynomial functors between vector spaces over a finite field. With these foundations in place, the book presents applications to representation theory, algebraic topology and K-theory. As these applications reveal, functor categories offer powerful computational techniques and theoretical insights.
T. Pirashvili sets the stage with a discussion of foundations. E. Friedlander then presents applications to the rational representations of general linear groups. L. Schwartz emphasizes the relation of functor categories to the Steenrod algebra. Finally, V. Franjou and T. Pirashivili present A. Scorichenko's understanding of the stable K-theory of rings as functor homology.

Key words: Frobenius twist, Koszul complex, de Rham complex, polynomial functors, Ext-groups, group scheme, Hopf algebra, algebraic group, restricted Lie algebra, general linear group, rational representation, Schur algebra, weight, support variety, Steenrod algebra, unstable modules, K-theory, bifunctor, MacLane homology, homology of a small category, spectral sequences

Class. math. : 14L15, 18G60, 19D55, 55-02, 55S10


ISBN : 2-85629-159-7
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique et Ministère de la Culture et de la Communication