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Panoramas et Synthèses - Parutions - 12 - Résumé

Parutions12

Milieux aléatoires
Nina Gantert - Josselin Garnier - Stefano Olla - Zhan Shi - Alain-Sol Sznitman - Francis Comets - Étienne Pardoux
Panoramas et Synthèses 12 (2001), xiv+134 pages
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Résumé :
Les milieux aléatoires constituent des modèles naturels pour des matériaux inhomogènes possédant certaines formes de régularité statistique. L'étude des processus stochastiques en milieu aléatoire est un domaine de recherche actif, et des techniques nouvelles y ont été tout récemment développées, notamment des formes mathématiques de la renormalisation. Bien au delà des modèles explicitement résolubles ou même seulement réversibles, ces techniques ont pu être appliquées dans certains cadres plus difficiles à traiter.

La session « États de la Recherche » qui s'est tenue au CIRM à Marseille en novembre 2000, visait à dresser un état de l'art dans le domaine, et à mettre au contact de ces idées une large partie de la communauté scientifique. Basé sur les notes des cours présentés lors de cette session, cet ouvrage est constitué de cinq articles, et d'une introduction générale où sont définies les notions fondamentales de probabilité utilisées tout au long de ces articles. Cette introduction, ainsi que le style des articles, doivent permettre la lecture de l'ouvrage à des mathématiciens non spécialistes.

L'article de Alain Sznitman étudie la survie du mouvement brownien au milieu d'obstacles aléatoirement répartis dans l'espace euclidien, et le comportement balistique de la marche aléatoire en milieu aléatoire sur le réseau de dimension $d\geq 2$, en illustrant le rôle de poches atypiques dans le milieu et celui de valeurs propres anormalement petites. Le deuxième article, par Zhan Shi, présente l'approche, par le calcul stochastique, de la marche aléatoire de Sinaï et de la diffusion dans un potentiel brownien sur la droite. Nina Gantert étudie la marche aléatoire sur l'arbre aléatoire de Galton-Watson, en particulier la probabilité d'événements rares. Stefano Olla présente l'homogénéisation stochastique, en prenant le point de vue de l'environnement vu de la particule, et des applications aux systèmes de particules en interaction. Dans le dernier article, Josselin Garnier étudie la propagation d'ondes en milieu aléatoire, la compétition des effets non-linéaires et aléatoires, et les solitons dans ce cadre.

Mots clefs : Milieux aléatoires, propagation d'ondes, mouvement brownien, obstacles poissonniens, marche aléatoire, diffusion dans un potentiel aléatoire, homogénéisation stochastique, systèmes de particules en interaction

Abstract:
Random Media
Random media are natural models for non homogeneous materials which possess some kind of statistical regularity. The study of stochastic processes in random media is currently an active field of research, and new techniques have recently been developed, including mathematical forms of renormalization. Those techniques apply to models which are much more delicate than exactly soluble ones, or even reversible ones.

The session ``États de la Recherche'', which has been held at CIRM in Marseille in November 2000, aimed at presenting the state of the art in the field, and at exposing it to a large fraction of the scientific community. Based on the notes of the courses delivered during the session, this volume is composed of five articles, and a general introduction, where all basic notions from probability theory, used in the articles, are defined. The introduction and the style of the articles should make the volume readable by non specialists.

The article by Alain Sznitman studies the survival of Brownian motion moving among randomly located obstacles, and the ballistic behaviour of the random walk in random media on the $d\ge 2$-dimensional lattice. This illustrates the role of atypical pockets in the medium, and of abnormally small eigenvalues. The second article, by Zhan Shi, presents the analysis via stochastic calculus of Sinaï's random walk, and of the one dimensional diffusion in a Brownian potential. Nina Gantert studies the random walk on a random Galton-Watson tree, and in particular the probability of rare events. Stefano Olla studies random homogenization, taking the point of view of the environment seen from the particle, as well as applications to interacting particle systems. In the last article, Josselin Garnier studies wave propagation in random media, the competition between non linear and random effects, and solitons in this framework.

Key words: Random media, wave propagation, Brownian motion, Poissonian obstacles, diffusion in a random potential, random homogenization, interacting particle systems

Class. math. : 60K37, 82D30; 60F10, 82C44


ISBN : 2-85629-127-9
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique et Ministère de la Culture et de la Communication