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Panoramas et Synthèses - Parutions - 9

Parutions

Problèmes de petits diviseurs dans les équations aux dérivées partielles
Walter Craig
Panoramas et Synthèses 9 (2000), viii+120 pages
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Résumé :
Beaucoup de problèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires qui sont intéressants pour la physique peuvent être posés comme des systèmes d'évolution hamiltoniens. Les équations des ondes non linéaires, de Schrödinger, de Korteweg de Vries, d'Euler en mécanique des fluides en sont les principaux exemples. En complément de la théorie des données initiales, il est naturel de se poser la question de la stabilité des solutions pour tout temps, et de décrire les structures principales qui sont invariantes au cours du temps dans l'espace de phase où ces systèmes sont bien posés. On se propose dans ce volume de Panoramas et Synthèses de développer des prolongements de la théorie Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) des tores invariants pour les EDP, dans le cas où les espaces de phases sont de dimension infinie. Le Panorama commence avec la définition des systèmes hamiltoniens de dimension infinie et présente les exemples principaux. Il passe en revue la théorie classique des solutions périodiques pour les systèmes dynamiques de dimension finie, en insistant sur le rôle joué par les résonances. Il développe ensuite une approche directe de la théorie KAM en dimension infinie, qui est appliquée à certaines EDP. Enfin il présente les méthodes introduites par Fröhlich et Spencer pour le développement de la résolvante, qui jouent un rôle central dans l'approche directe de la théorie KAM. On conclut dans le dernier chapitre par une présentation des développements les plus récents de la théorie.

Mots clefs : Équations aux dérivées partielles, systèmes hamiltoniens, petits diviseurs

Abstract:
Small Divisor Problems in Partial Differential Equations
Many problems in nonlinear PDE which are of physical significance can be posed as Hamiltonian systems: some principal examples include the nonlinear wave equations, the nonlinear Schrödinger equation, the KdV equation and the Euler equations of fluid mechanics. Complementing the theory of the initial value problem, it is natural to pose the question of stability of solutions for all times, and to describe the principal structures of phase space which are invariant under the flow. The subject of this volume of the Panoramas et Synthèses is the development of extensions of KAM theory of invariant tori for PDE, for which the phase space is naturally infinite dimensional. The Panorama starts with the definition of a Hamiltonian system in infinite dimensions. It reviews the classical theory of periodic solutions for finite dimensional dynamical systems, commenting on the rôle played by resonances. It then develops a direct approach to KAM theory in infinite dimensional settings, applying it to several of the PDE of interest. The volume includes a description of the methods of Fröhlich and Spencer for resolvant expansions of linear operators, as it is a basic technique used in this approach to KAM theory. The final chapter gives a presentation of the more recent developments of the subject.

Key words: Partial differential equations, Hamiltonian systems, small divisors

Class. math. : 35, 37


ISBN : 2-85629-095-7
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique