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Panoramas et Synthèses - Parutions - 10

Parutions

Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques
Cécile Ané - Sébastien Blachère - Djalil Chafaï - Pierre Fougères - Ivan Gentil - Florent Malrieu - Cyril Roberto - Grégory Scheffer
Panoramas et Synthèses 10 (2000), xiv+213 pages
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Résumé :
Cet ouvrage offre un panorama sur les inégalités de SOBOLEV logarithmiques dont le champ d'application n'a cessé de croître au cours des dernières années, de l'analyse et la géométrie en dimension finie et infinie, aux probabilités et à la mécanique statistique.

Ce texte, composé de chapitres à la lecture autonome, constitue une introduction accessible au plus grand nombre sur divers aspects de l'étude de ces inégalités. L'exemple fondamental des lois de BERNOULLI et GAUSS est l'occasion d'introduire, d'après GROSS, les inégalités de SOBOLEV logarithmiques. Les propriétés d'hypercontractivité et de stabilité par produit tensoriel forment un aspect caractéristique de ces inégalités qui s'insèrent en fait dans la famille plus large des inégalités de SOBOLEV traditionnelles.

Un thème abordé est celui du critère de courbure et dimension, qui constitue un outil efficace pour l'obtention d'inégalités fonctionnelles, suivi d'un autre sur une caractérisation des mesures vérifiant des inégalités de SOBOLEV logarithmiques et de POINCARé sur la droite réelle à l'aide des inégalités de HARDY.

Sont étudiées ensuite les interactions avec divers domaines de l'analyse et des probabilités. Parmi elles, le phénomène de concentration de la mesure, utile aussi bien en géométrie, en probabilités discrètes, en combinatoire et en statistique. Suivent les relations récentes entre inégalités de SOBOLEV logarithmiques et inégalités de transport, qui fournissent également une autre approche de la concentration ; puis un contrôle des vitesses de convergence vers l'équilibre de chaînes de MARKOV sur des espaces finis au moyen des constantes de trou spectral et de SOBOLEV logarithmique. Le dernier chapitre est une relecture moderne de la notion d'entropie en théorie de l'information et de ses liens multiples avec la forme euclidienne de l'inégalité de SOBOLEV logarithmique gaussienne, faisant remonter la genèse de cette inégalité aux travaux de SHANNON et STAM.

L'accent est mis sur les méthodes et les propriétés examinées, plutôt que sur les cadres d'études les plus généraux. La bibliographie, sans être encyclopédique, tente de faire un point assez complet sur le sujet, avec notamment les dernières références en la matière sur chacun des chapitres.

Mots clefs : Inégalité de Sobolev, entropie, semi-groupe de Markov, concentration de la mesure, transport de la mesure, chaînes de Markov, théorie de l'information

Abstract:
On logarithmic Sobolev inequalities
This book is an overview on logarithmic SOBOLEV inequalities. These inequalities turned out to be a subject of intense activity during the past years, from analysis and geometry in finite and infinite dimension, to probability theory and statistical mechanics, and many developments are still to be expected.

The book is a pedestrian approach to logarithmic Sobolev inequalities, accessible to a wide audience. It is divided into chapters of independent interest. The fundamental example of the BERNOULLI and Gaussian distributions is the starting point to logarithmic SOBOLEV inequalities as they were defined by GROSS in the mid-seventies. Hypercontractivity and tensorisation form two main aspects of these inequalities, that are actually part of the larger family of classical SOBOLEV inequalities in functional analysis.

A chapter is devoted to the curvature-dimension criterion, which is an efficient tool to establish functional inequalities. Another chapter describes a characterization of measures which satisfy logarithmic SOBOLEV or POINCARé inequalities on the real line, using HARDY's inequalities.

Interactions with various domains in analysis and probability are developed. A first study deals with the concentration of the measure phenomenon, useful in statistics as well as geometry. The relationships between logarithmic SOBOLEV inequalities and the transportation of measures are considered, in particular through their approach to concentration. A control of the speed of convergence to equilibrium of finite state MARKOV chains is described in terms of the spectral gap and the logarithmic SOBOLEV constants. The last part is a modern reading of the notion of entropy in information theory and of the several links between information theory and the Euclidean form of the Gaussian logarithmic SOBOLEV inequality. The genesis of this inequalities can thus be traced back in the early contributions of SHANNON and STAM.

This book focuses on the methods and the characteristics of the treated properties, rather than the most general fields of study. Chapters are mostly self-contained. The bibliography, without being encyclopedic, tries to give a rather complete state of the art on the topic, including some very recent references.

Key words: Sobolev inequality, entropy, Markov semigroup, concentration of measure, transportation of measure, Markov chains, information theory

Class. math. : 46-99, 60J60, 26D10, 58D25, 39B72, 58J65, 47D07, 60J10, 94A15, 94A17


ISBN : 2-85629-105-8
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique