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Panoramas et synthèses - Parutions - 8 (1999)

Parutions < 

Dynamique et géométrie complexes
Dominique Cerveau, Étienne Ghys, Nessim Sibony et Jean-Christophe Yoccoz  (notes rédigées par Marguerite Flexor)
Panoramas et synthèses 8 (1999), 234 pages
(épuisé)
Sommaire

Résumé :
Depuis une vingtaine d'années, la théorie dessystèmes dynamiquesholomorphes a connu un regain d'activité en particulier autour del'étude fine des ensembles de Julia des polynômes ou fractionsrationnelles en une variable complexe. Parallèlement, des théoriesvoisines se sont développées de manière importante pendant la mêmepériode; comme par exemple l'étude qualitative des équationsdifférentielles dans le domaine complexe. La session `` État de larecherche'' qui s'est tenue à l'ENS de Lyon en janvier 1997 seproposait de faire le point sur ce genre de problèmes, tout enessayant d'insister sur l'unité qui relie ces divers domaines derecherche. Ce volume contient la rédaction des conférencesprésentées lors de cette session et il est constitué de quatrearticles de type `` survey ''.L'article de D. Cerveau décrit la structure des équationsdifférentielles polynomiales dans le plan complexe en insistant surl'analyse locale au voisinage des singularités. Le deuxième article,par É. Ghys, propose un survol de la théorie des laminations parsurfaces de Riemann qui interviennent dans de nombreux problèmes dedynamique ou de géométrie. N. Sibony présente l'état actuel de lagénéralisation de la théorie de Fatou et Julia aux applicationspolynomiales ou rationnelles en dimension complexe au moins 2. Enfin,la conférence de J.-C. Yoccoz, rédigée par M. Flexor, considèreles polynômes de degré 2 en une variable complexe et se consacre enparticulier aux propriétés hyperboliques de ces polynômes, autour duthéorème de Jakobson. Une introduction générale présente lesrudiments de l'histoire des systèmes dynamiques holomorphes dans le butde montrer au lecteur que ces domaines sont très liés et que lesinteractions sont nombreuses et fécondes.Dans l'esprit des `` États de la recherche de la SociétéMathématique de France'', les textes qui constituent cet ouvrage nesont pas destinés aux experts mais auxétudiants ou aux mathématiciens non spécialistes.

Mots-clefs : Dynamique holomorphe, dynamique de dimension 1,équationsdifférentielles ordinaires dans le domaine complexe, feuilletages,singularités de champs de vecteurs

Abstract:
Dynamic and complex geometry
In the last twenty years, the theory of holomorphicdynamical systems has hada resurgent activity, in particular concerning the fine analysis ofJulia sets associated to polynomials and rational maps in one complexvariable. Simultaneously, closely related theories have had a similar rapiddevelopment, for instance, the qualitative theory of differentialequations in the complex domain.The meeting ``État de la recherche'' held in the ENS Lyon in january 1997aimed at a presentationof the present state of the art in this area, emphasizing the unitylinking the various sub-domains. This volume contains four surveyarticles, corresponding to the lectures presented at the meeting. The paperby D. Cerveau describes the structure of polynomial differentialequations in the complex plane focusing on the local analysis aroundsingular points. The second paper, by É. Ghys, is a survey of the theoryof laminations by Riemann surfaces which occur in many dynamical orgeometrical situations. N. Sibony describes the present state of thegeneralization of the Fatou-Julia theory for polynomials or rationalmaps in complex dimension at least 2. Finally, the lecture of J.-C. Yoccoz,written by M. Flexor, considers polynomials of degree 2 in onecomplex variable and in particular deals with hyperbolic properties of thesepolynomials centered around the Jakobson theorem. A general introductiongives the rudiments of the history of holomorphic dynamical systems, theaim being to show the reader that these questions are intimately linkedand that their interactions are numerous and fruitful.In the spirit of the meetings ``États de larecherche de la Société Mathématique de France'', these articles arenot written for experts but rather for students or mathematicians workingin different fields.

Keywords: holomorphic dynamics, one dimensional dynamics, ordinarydifferential equations in the complex domain, foliations, singularitiesof vector fields

Class. math. : 58F03, 58F15, 58F18, 58F23, 30D05, 30D03, 34A20, 57R30


ISBN : 978-2-85629-078-1
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique et Ministèrede la Culture et de la Communication