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Panoramas et synthèses - Parutions - 8 (1999)

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Dynamique et géométrie complexes
Dominique Cerveau, Étienne Ghys, Nessim Sibony et Jean-Christophe Yoccoz  (notes rédigées par Marguerite Flexor)
Panoramas et synthèses 8 (1999), 234 pages
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Sommaire

Résumé :
Depuis une vingtaine d'années, la théorie des systèmes dynamiques holomorphes a connu un regain d'activité en particulier autour de l'étude fine des ensembles de Julia des polynômes ou fractions rationnelles en une variable complexe. Parallèlement, des théories voisines se sont développées de manière importante pendant la même période ; comme par exemple l'étude qualitative des équations différentielles dans le domaine complexe. La session « État de larecherche » qui s'est tenue à l'ENS de Lyon en janvier 1997 se proposait de faire le point sur ce genre de problèmes, tout en essayant d'insister sur l'unité qui relie ces divers domaines de recherche. Ce volume contient la rédaction des conférences présentées lors de cette session et il est constitué de quatre articles de type « survey ». L'article de D. Cerveau décrit la structure des équations différentielles polynomiales dans le plan complexe en insistant sur l'analyse locale au voisinage des singularités. Le deuxième article, par É. Ghys, propose un survol de la théorie des laminations par surfaces de Riemann qui interviennent dans de nombreux problèmes de dynamique ou de géométrie. N. Sibony présente l'état actuel de la généralisation de la théorie de Fatou et Julia aux applications polynomiales ou rationnelles en dimension complexe au moins 2. Enfin, la conférence de J.-C. Yoccoz, rédigée par M. Flexor, considère les polynômes de degré 2 en une variable complexe et se consacre en particulier aux propriétés hyperboliques de ces polynômes, autour du théorème de Jakobson. Une introduction générale présente les rudiments de l'histoire des systèmes dynamiques holomorphes dans le but de montrer au lecteur que ces domaines sont très liés et que les interactions sont nombreuses et fécondes. Dans l'esprit des « États de la recherche de la Société Mathématique de France », les textes qui constituent cet ouvrage ne sont pas destinés aux experts mais aux étudiants ou aux mathématiciens non spécialistes.

Mots-clefs : Dynamique holomorphe, dynamique de dimension 1, équations différentielles ordinaires dans le domaine complexe, feuilletages, singularités de champs de vecteurs

Abstract:
Dynamic and complex geometry
In the last twenty years, the theory of holomorphic dynamical systems has had a resurgent activity, in particular concerning the fine analysis of Julia sets associated to polynomials and rational maps in one complex variable. Simultaneously, closely related theories have had a similar rapid development, for instance, the qualitative theory of differential equations in the complex domain.The meeting ``État de la recherche'' held in the ENS Lyon in january 1997aimed at a presentation of the present state of the art in this area, emphasizing the unity linking the various sub-domains. This volume contains four survey articles, corresponding to the lectures presented at the meeting. The paper by D. Cerveau describes the structure of polynomial differential equations in the complex plane focusing on the local analysis around singular points. The second paper, by É. Ghys, is a survey of the theory of laminations by Riemann surfaces which occur in many dynamical or geometrical situations. N. Sibony describes the present state of the generalization of the Fatou-Julia theory for polynomials or rational maps in complex dimension at least 2. Finally, the lecture of J.-C. Yoccoz, written by M. Flexor, considers polynomials of degree 2 in one complex variable and in particular deals with hyperbolic properties of these polynomials centered around the Jakobson theorem. A general introduction gives the rudiments of the history of holomorphic dynamical systems, the aim being to show the reader that these questions are intimately linked and that their interactions are numerous and fruitful. In the spirit of the meetings ``États de la recherche de la Société Mathématique de France'', these articles are not written for experts but rather for students or mathematicians working in different fields.

Keywords: holomorphic dynamics, one dimensional dynamics, ordinary differential equations in the complex domain, foliations, singularities of vector fields

Class. math. : 58F03, 58F15, 58F18, 58F23, 30D05, 30D03, 34A20, 57R30


ISBN : 978-2-85629-078-1
ISSN : 1272-3835
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique et Ministèrede la Culture et de la Communication