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Panoramas et synthèses - Parutions - 2 (1996)

Parutions

Symétrie miroir
Claire Voisin
Panoramas et synthèses 2 (1996), iv+148 pages
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Résumé :
Ce texte expose certains travaux motivés par la mise en évidence du phénomène de symétrie miroir par les physiciens. Un chapitre y est consacré à la géométrie des variétés de Calabi-Yau, tandis que le suivant décrit, à titre de motivation, les idées venues de la théorie quantique des champs et qui sont à l'origine de cette découverte. Les chapitres suivants traitent d'aspects plus spécialisés du sujet : le travail de Candelas, de la Ossa, Greene, Parkes, où est exploité le fait que sous l'hypothèse des miroirs, la variation de structure de Hodge d'une famille de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 détermine les invariants de Gromov-Witten de son miroir; la construction de Batyrev, qui exhibe le phénomène de miroirs entre hypersurfaces des variétés toriques de Fano, à l'aide d'une classification combinatoire de ces dernières ; la construction mathématique du potentiel de Gromov-Witten et la preuve de sa propriété cruciale (il satisfait l'équation WDVV), qui permet de construire une connexion plate, sous-jacente à une variation de structure de Hodge dans le cas d'une variété de Calabi-Yau; et pour finir, le calcul de Givental qui est une justification mathématique mystérieuse du calcul de Candelas et al.

Abstract:
Mirror symmetry
This paper describes works motivated by the discovery of the mirror symmetry phenomenon by the physicists. One chapter is devoted to the geometry of Calabi-Yau manifolds, and the next one describes, as a motivation, the ideas from quantum field theory, which led to this discovery. The other chapters deal with more specialised aspects of the subject:the work of Candelas, de la Ossa, Greene, Parkes, based on the fact that under the mirror symmetry hypothesis, the variation of Hodge structure of a Calabi-Yau threefold determines the Gromov-Witten invariants of its mirror; Batyrev'sconstruction which exhibits the mirror symmetry phenomenon between hypersurfaces of toric Fano varieties, after a combinatorial classification of the last ones; the mathematical construction of the Gromov-Witten potential, and the proof of its crucial property (it satisfies the WDVV equation), which allows to construct a flat connection, underlying a variation of Hodge structure in the Calabi-Yau case; and to conclude, Givental's computation, which is a mysterious mathematical justification of the computation of Candelas et al.

Class. math. : 14D05, 14D07, 14J32, 14M25, 32G13, 32G20, 32L07, 81T30, 81T40, 53C23, 53C15


ISBN : 978-2-85626-048-4
ISSN : 1272-3835