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Mémoires de la SMF - Parutions - 158 (2018)

Parutions < 2018

Poisson ensembles of loops of one-dimensional diffusions
Titus Lupu
Mémoires de la SMF 158 (2018), vi+162 pages
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Résumé :
Ensembles poissoniens de boucles des diffusions unidimensionnelles
Il y a une mesure naturelle sur les boucles (trajectoires paramétrées par le temps, qui à la fin retournent à leur origine) qu'on peut associer à une large classe de processus de Markov. Les ensembles poissoniens de boucles markoviennes sont des processus ponctuels de Poisson d'intensité proportionnelle à ces mesures. Dans une grande généralité, ces ensembles poissoniens de boucles markoviennes sont reliés, au paramètre d'intensité 1/2, au champ libre gaussien, et au paramètre d'intensité 1, aux boucles crées par une trajectoire markovienne. Ici nous étudions le cas spécifique où le processus de Markov est une diffusion unidimensionnelle. Après une description détaillée de la mesure, nous étudions les processus ponctuels de Poisson des boucles, leurs champs d'occupation et expliquons comment séquencer ces ensembles poissoniens de boucles à partir de trajectoires de diffusions perturbées à leur minima successifs. Enfin, nous introduisons un couple de processus ponctuels déterminantaux sur la droite, entrelacés, qui est un dual, à travers l'algorithme de Wilson, de l'ensemble poissonien de boucles, et étudions les propriétés de ces processus ponctuels déterminantaux.

Mots-clefs : Ensembles poissoniens de boucles markoviennes, soupes des boucles, processus de diffusion unidimensionnel, transformation de Vervaat, processus de branchement avec immigration à état continu, champ libre gaussien, isomorphisme de Dynkin, algorithme de Wilson, arbre couvrant uniforme, processus ponctuels déterminantaux

Abstract:
There is a natural measure on loops (time-parametrized trajectories that in the end return to the origin), which one can associate to a wide class of Markov processes. The Poisson ensembles of Markov loops are Poisson point processes with intensity proportional to these measures. In wide generality, these Poisson ensembles of Markov loops are related, at intensity parameter 1/2, to the Gaussian free field, and at intensity parameter 1, to the loops done by a Markovian sample path. Here, we study the specific case when the Markov process is a one-dimensional diffusion. After a detailed description of the measure, we study the Poisson point processes of loops, their occupation fields, and explain how to sample these Poisson ensembles of loops out of diffusion sample path perturbed at their successive minima. Finally, we introduce a couple of interwoven determinantal point processes on the line, which is a dual through Wilson's algorithm of Poisson ensembles of loops, and study the properties of these determinantal point processes.

Keywords: Poisson ensembles of Markov loops, loop-soup, one-dimensional diffusion processes, Vervaat's transformation, continuous state branching processes with immigration, Gaussian free field, Dynkin's isomorphism, Wilson's algorithm, uniform spanning tree, determinantal point processes

Class. math. : 60-02, 60G15, 60G17, 60G55, 60G60, 60J55, 60J60, 60J65, 60J80


ISBN : 978-2-85629-891-6
ISSN : 0249-633-X
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Aru, J. and Lupu, T. and Sepúlveda, A.
First passage sets of the 2D continuum Gaussian free field
arXiv:1706.07737
2
Aru, J and Lupu, T. and Sepúlveda, A.
The first passage sets of the 2D Gaussian free field: convergence and isomorphisms.
arXiv:1805.09204
3
Baxter, J.R. and Chacon, R.V.
The equivalence of diffusions on networks to Brownian motion
in Contemporary Mathematics
26 (1984) 33-48
4
Benjamini, I. and Lyons, R. and Peres, Y. and Schramm, O.
Unifrom Spanning Forests
The Annals of Probability 29 (2001) 1-65
5
Bertoin, J. and Pitman, J.
Two coalescents derived from the ranges of stable subordinators
Electronic Journal of Probability 5 (1999)
6
Biane, P.
Relations entre pont et excursion du mouvement brownien réel.
Annales de l'institut Henri Poincaré 22 (1986) 1-7
7
Birkhoff, G. and Rota, G. C.
Ordinary differential equations
John Wiley and Sons, 1989
8
Breiman, L.
Probability
Classics in applied mathematics, vol. 7, SIAM, 1992
9
Brydges, D. and Fröhlich, J. and Spencer, T.
The random walk representation of classical spin systems and correlation inequalities
Communications in Mathematical Physics 83 (1982) 123-150
10
Carmona, P. and Petit, F. and Yor, M.
Some extensions of the arc sine law as partial consequences of the scaling property of Brownian motion
Probability Theory and Related Fields 100 (1994) 1-29
11
Chang, Y.
Loop cluster on discrete circles
Electronic Journal of Probability 20 (2015)
12
Chang, Y.
Supercritical loop percolation on Z^d for d3
Stochastic Processes and their Applications 127 (2017) 3159-3186
13
Chang, Y. and Sapozhnikov, A.
Phase transition in loop percolation
Probability Theory and Related Fields 164 979–1025
14
Chaumont, L. and Bravo, G. Uribe
Markovian bridges : weak continuity and pathwise construction
The Annals of Probability 39 (2011) 609-647
15
Chung, K.L. and Walsh, J.B.
Markov Processes, Brownian Motion, and Time Symmetry
Grundl. math. Wiss., vol. 249, Springer, 2005
16
Dynkin, E. B.
Gaussian and non-Gaussian random fields associated with Markov processes
Journal of Functional Analysis 55 (1984) 344-376
17
Dynkin, E. B.
Local times and quantum fields
in Seminar on Stochastic Processes, Gainesville 1983
Progress in Probability and Statistics 7 (1984) 69-84
18
Dynkin, E. B.
Polynomials of the occupation field and related random fields
Journal of Functional Analysis 58 (1984) 20-52
19
Eisenbaum, N.
Dynkin's isomorphism theorem and the Ray-Knight theorems
Probability Theory and Related Fields 99 (1994) 321-335
20
Eisenbaum, N.
Une version sans conditionnement du théorème d'isomorphisme de Dynkin
in Séminaire de Probabilités XXIX
Lecture Notes in Math. 1613 (1995) 266-289
21
Eisenbaum, N. and Kaspi, H. and Marcus, M.B. and Rosen, J. and Shi, Z.
A Ray-Knight theorem for symmetric Markov processes
The Annals of Probability 28 (2000) 1781-1796
22
Fitzsimmons, P.J.
Excursions above the minimum for diffusions
arXiv:1308.5189
23
Fitzsimmons, P.J. and Jan, Y. Le and Rosen, J.
Loop measures without transition probabilities
in In Memoriam Marc Yor-Séminaire de Probabilités XLVII
Lecture Notes in Math. 2137 (2015) 299-320
24
Fitzsimmons, P.J. and Pitman, J. and Yor, M.
Markovian Bridges: Construction, Palm Interpretation, and Splicing
in Seminar on Stochastic Processes 1992
(1993) 101-134
25
Fitzsimmons, P.J. and Rosen, J.
Markovian loop soups: permanental processes and isomorphism theorems
Electronic Journal of Probability 19 (2014)
26
Hough, J. B. and Krishnapur, M. and Peres, Y. and Virag, B.
Zeros of Gaussian analytic functions and determinantal point processes
University Lecture Series, vol. 51, Amer. Math. Soc., 2009
27
Itô, K. and McKean, H. P.
Diffusion processes and their sample paths
Grundl. math. Wiss., vol. 125, Springer, 1974
28
Karatzas, I. and Shreve, S. E.
Brownian motion and stochastic calculus
Graduate Texts in Math., vol. 113, Springer, 2010
29
Kawazu, K. and Watanabe, S.
Branching processes with immigration and related limit theorems
Theory of Probability and its Applications 16 (1971) 36-54
30
Knight, F.
Random walks and a sojourn density process of Brownian motion
Trans. AMS 109 (1963) 56-86
31
Lawler, G. F.
Topics in loop measures and the loop-erased walk
Probability Surveys 15 (2018) 28-101
32
Lawler, G. F. and Schramm, O. and Werner, W.
Conformal restriction: the chordal case
Journal of American Mathematical Society 16 (2003) 917-955
33
Lawler, G. F. and Trujillo-Ferreras, J. A.
Random walk loop soup
Trans. AMS 359 (2007) 767-787
34
Lawler, G. F. and Werner, W.
The Brownian loop-soup
Probability Theory and Related Fields 128 (2004) 565-588
35
Le Gall, J. F. and Yor, M.
Excursions browniennes et carrés de processus de Bessel
Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série 1, Mathématiques 303 (1986) 73-76
36
Le Jan, Y.
Markov paths, loops and fields
Lecture Notes in Math., Ecole d'été de Probabilités de Saint-Flour, vol. 2026, Springer, 2011
37
Le Jan, Y. and Lemaire, S.
Markovian loop clusters on graphs
Illinois Journal of Mathematics 57 (2013) 525-558
38
Le Jan, Y. and Marcus, M.B. and Rosen, J.
Permanental fields, loop soups and continuous additive functionals
The Annals of Probability 43 (2015) 44-84
39
Lupu, T.
Ensembles poissoniens de boucles markoviennes
Thèse, Université Paris-Sud, Orsay (2015)
40
Lupu, T.
From loop clusters and random interlacements to the free field
The Annals of Probability 44 (2016) 2117-2146
41
Lupu, T.
Loop percolation on discrete half-plane
Electronic Communications in Probability 21 (2016)
42
Lupu, T.
Convergence of the two-dimensional random walk loop soup clusters to CLE
arXiv:1502.06827, to appear in J. of Europ. Math. Soc
43
Lyons, R.
Determinantal probability measures
Publications Mathématiques de l'IHES 98 (2003) 167-212
44
Marcus, M.B. and Rosen, J.
Markov processes, Gaussian processes and local times
Cambridge Univ. Press, 2006
45
McKean, H. P.
Elementary solutions for certain parabolic partial differential equations
Trans. AMS 82 (1956) 519-548
46
Perman, M.
An excursion approach to Ray-Knight theorems for perturbed Brownian motion
Stochastic Processes and their Applications 63 (1996) 67-74
47
Pitman, J.
Cyclically stationary Brownian local time processes
Probability Theory and Related Fields 106 (1996) 299-329
48
Pitman, J. and Yor, M.
Bessel processes and infinitely divisible laws
in Stochastic Integrals: Proceedings of the LMS Durham Symposium
Lecture Notes in Math. 851 (1981) 285-370
49
Pitman, J. and Yor, M.
A decomposition of Bessel bridges
Z. Wahrsch. verw. Gebiete 59 (1982) 425-457
50
Pitman, J. and Yor, M.
Decomposition at the maximum for excursions and bridges of one-dimensional diffusions
in Itô's Stochastic Calculus and Probability Theory
(1996) 293-310
51
Qian, W. and Werner, W.
Decomposition of Brownian loop-soup clusters
arXiv:1509.01180, to appear in J. of Europ. Math. Soc
52
Ray, D.
Sojourn times of diffusion processes
Illinois Journal of mathematics 7 (1963) 615-630
53
Revuz, D. and Yor, M.
Continuous martingales and Brownian motion
Grundl. math. Wiss., vol. 293, Springer, 1999
54
Salminen, P. and Vallois, P. and Yor, M.
On the excursion theory for linear diffusions
Japanese Journal of Mathematics 2 (2007) 97-127
55
Salminen, P. and Yen, J.Y. and Yor, M.
Integral representation of certain measures in the one-dimensional diffusions excursions theory
in In Memoriam Marc Yor-Séminaire de Probabilités XLVII
Lecture Notes in Math. 2137 (2015) 1-15
56
Sapozhnikov, A. and Shiraishi, D.
On Brownian motion, simple paths, and loops
Probability Theory and Related Fields (2017)
57
Sheffield, S. and Werner, W.
Conformal loop ensembles: the Markovian characterization and the loop-soup construction
Annals of Mathematics 176 (2012) 1827-1917
58
Shiga, T. and Watanabe, S.
Bessel diffusions as a one-parameter family of diffusion processes
Z. Wahrsch. verw. Gebiete 27 (1973) 37-46
59
Simon, B.
Trace ideals and their applications
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 120, Amer. Math. Soc., 2005
60
Soshnikov, A.
Determinantal random point fields
Uspekhi Mathematicheskikh Nauk 55 (2000) 107-160
61
Symanzik, K.
Euclidean quantum field theory I: Equations for a scalar model
New York University, 1965
62
Symanzik, K.
Euclidean quantum field theory I. Equations for a scalar model
Journal of Mathematical Physics 7 (1966) 510–525
63
Symanzik, K.
Euclidean quantum field theory
in Scuola intenazionale di Fisica Enrico Fermi. XLV Corso.
(1969) 152-223
64
Sznitman, A.S.
An isomorphism theorem for random interlacements
Electronic Commununications in Probability 17 (2012) 1-9
65
Sznitman, A.S.
Topics in occupation times and Gaussian free field
Zurich lectures in advanced mathematics, European Mathemtical Society, 2012
66
Teschl, G.
Ordinary differential equations and dynamical systems
Graduate Studies in Math., vol. 140, Amer. Math. Soc., 2012
67
Vervaat, W.
A relation between Brownian bridge and Brownian excursion
The Annals of Probability 7 (1979) 143-149
68
Williams, D.
Path decomposition and continuity of local time for one dimensional diffusions I
Proceedings of the London Mathematical Society 28 (1974) 738-768
69
Wilson, D. B.
Generating random spanning trees more quickly than the cover time
in Proceedings of the Twenty-Eighth Annual ACM Symposium on the Theory of Computing
(1996) 296-303
70
Zhan, D.
Loop-erasure of planar Brownian motion
Communications in Mathematical Physics 303 (2012) 709-720