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Mémoires de la SMF - Parutions - 151 (2017)

Parutions < 2017

Semisimple Lie Algebras and their classification over p-adic Fields
Torsten Schoeneberg
Mémoires de la SMF 151 (2017), 147 pages
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Résumé :
Algèbres de Lie semi-simples et leur classification sur les corps p-adiques
Nous étudions les algèbres de Lie semi-simples sur les corps de caractéristique nulle, où l'accent est mis sur les corps p-adiques, l'objectif étant leur classification. Nous transférons d'abord certaines parties de la théorie de la structure des groupes réductifs dans notre contexte, avec quelques variations. Des invariants classifiants sont attachés aux algèbres de Lie et sont visualisés à l'aide de diagrammes de Satake-Tits. Nous donnons des critères nécessaires et suffisants pour ces diagrammes. Sur les corps généraux de caractéristique nulle, nous classifions ensuite toutes les formes quasi-déployées et nous traduisons une théorie ancienne de classification pour les types classiques A-D dans notre langue. Nous mettons enfin l'accent sur les corps p-adiques, où nous obtenons une classification complète par combinaison de certaines propriétés bien connues sur ces corps avec nos résultats généraux et nos méthodes, et nous abordons la relation de ces résultats avec un théorème de Kneser. Tout cela prolonge un travail de Weisfeiler.

Mots-clefs : Algèbres de Lie semi-simples, classification, corps p-adiques, indice de Tits

Abstract:
This work gives a detailed structure theory for semisimple Lie algebras over arbitrary fields of characteristic 0. Starting from the well-known classification over algebraically closed fields via root systems, we mimic the language of reductive groups, so that part of our work can be seen as an introduction to a simpler version of Borel-Tits theory; but we also express our results in the language of classical (matrix) algebra as well as Galois cohomology. In the second part of the work, we focus on p-adic fields and achieve a complete classification of semisimple Lie algebras over them. This classification consists essentially of a list of so-called Satake-Tits diagrams, which extend the Dynkin diagrams from the split case. Several instructive examples and historical notes supplement the text. The work can be used as the basis for a lecture on semisimple Lie algebras beyond the beginner's level, and as a reference for researchers.

Keywords: Semisimple Lie algebras, Classification, p-adic fields, Tits index

Class. math. : 17B05, 17B20, 17B22


ISBN : 978-2-85629-859-6
ISSN : 0240-633-X (print) 2275-3230 (electronic)
DOI : 10.24033/msmf.459
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique