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Mémoires de la SMF - Parutions - 148 (2016)

Parutions < 2016

Compactness properties of perturbed sub-stochastic C_0-semigroups on L^1() with applications to discreteness and spectral gaps
Mustapha Mokhtar-Kharroubi
Mémoires de la SMF 148 (2016), 87 pages
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Résumé :
Propriétés de compacité de semigroupes sous-stochastiques perturbés dans L^1 et applications aux spectres discrets et aux trous spectraux
Nous traitons de C_0% -semigroupes à contractions positifs dans L^1(;A,) de générateur T(;A,) est un espace mesuré abstrait et donnons une approche systématique des propriétés de compacité de C_0% -semigroupes perturbés ( e^t(T-V%
)) _t0 (ou de leurs générateurs) induites par des potentiels singuliers V:(;)R_+. Des résultats plus précis sont donnés pour des espaces métriques mesurés (,d,). Cette nouvelle construction repose sur plusieurs ingrédients: de nouvelles estimations a priori propres aux espaces L^1, des hypothèses de compacité locale faible sur les opérateurs non perturbés, des arguments de type Dunford-Pettiset l'hypothèse que les sous-ensembles de niveau _M:= x;V(x)M sont fins à l'infini par rapport à (
U(t) ) _t0. Nous montrons aussi l'apparition de trous spectraux lorsque les sous-ensembles de niveaux %
_M ne sont pas fins à l'infini par rapport à ( U(t)) _t0. Ce formalisme combine intimement le noyau de ( U(t)) _t0 et les sous ensembles de niveau _M. Les potentiels indéfinis sont aussi traités. Des applications variées aux semigroupes de convolution, aux Laplaciens à poids et aux Laplaciens de Witten sur les 1-formes sont données.

Mots-clefs : Espace L^1, semigroupe d'absorption, compacité faible locale, spectre discret, trou spectral, semigroupe de convolution, Laplacien de Witten

Abstract:
We deal with positive C_0-semigroups ( U(t)) _t0 of contractions in L^1(;A,) with generator T where (;A,) is an abstract measure space and provide a systematic approach of compactness properties of perturbed C_0% -semigroups ( e^t(T-V%
)) _t0 (or their generators) induced by singular potentials V:(;)
R
_+. More precise results are given in metric measure spaces (
,d,). This new construction is based on several ingredients: new a priori estimates peculiar to L^1-spaces, local weak compactness assumptions on unperturbed operators, Dunford-Pettisarguments and the assumption that the sublevel sets _M:= x;V(x)M are thin at infinitywith respect to ( U(t))
_t0. We show also how spectral gaps occur when the sublevel sets are not thin at infinity. This formalism combines intimately the kernel of ( U(t)) _t0 and the sublevel sets _M. Indefinite potentials are also dealt with. Various applications to convolution semigroups, weighted Laplacians and Witten Laplacians on 1-forms are given.

Keywords: L^1 space, absorption semigroup, local weak compactness, discrete spectrum, spectral gap, convolution semigroup, Witten Laplacian

Class. math. : 47D06, 47B07, 47B34, 47B65, 35P15


ISBN : 978-2-85629-839-8
ISSN : 0249-633-X
DOI : 10.24033/msmf.456
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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