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Mémoires de la SMF - Parutions - 147 (2016)

Parutions < 2016

Rolling of Manifolds and Controllability in dimension three
Yacine Chitour, Petri Kokkonen
Mémoires de la SMF 147 (2016), v+162 pages
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Résumé :
Roulement de variétés et commandabilité en dimension trois
Nous présentons le roulement (ou développement) d'une variété riemannienne connexe (M,g) sur une autre (M ,g ) de dimension égale n2, lorsqu'il y a pas de glissement ni spin de l'une par rapport à l'autre. Nous donnons une description intrinsèque des contraintes sans glissementet sans spinà l'aide des connections de Levi-Civita ^g and ^g afin de définir la distribution associée à (R) dans l'espace d'état approprié. Nous donnons les premières propriétés globales pour les ensembles atteignables et nous étudions la structure d'algèbre de Lie correspondante. En particulier, nous caractérisons le rôle crucial joué par un tensor courbure dans l'espace d'état que nous appelons courbure de roulement. Lorsque les deux variétés sont de dimension 3, nous donnons une caractérisation complète de la structure locale des ensembles atteignables et en particulier celles des orbites non ouvertes. En plus du cas trivial où les variétés (M,g) et (M ,g ) sont (localement) isométriques, nous montrons que la non commandabilité locale a lieu si et seulement si (M,g) et (M ,g ) sont des produits tordus ou des variétés de contact avec une description précise.

Mots-clefs : Développement de variétés, commandabilité, contrôle géometrique, tenseur courbure

Abstract:
We present the rolling (or development) of one smooth connected complete Riemannian manifold (M,g) onto another one (M ,g) of equal dimension n2 where there is no relative spin or slip of one manifold with respect to the other one. Relying on geometric control theory, we provide an intrinsic description of the two constraints “without spinning” and “without slipping” in terms of the Levi-Civita connections ^g and ^g by defining corresponding vector fields distributions in the appropriate state space. We then address the issue of complete controllability for that rolling problem. We first establish basic global properties for the reachable set and investigate the associated Lie bracket structure. In particular, we point out the role played by a curvature tensor defined on the state space, that we call the rolling curvature. When the two manifolds are three-dimensional, we give a complete local characterization of the reachable sets and, in particular, we identify necessary and sufficient conditions for the existence of a non open orbit. In addition to the trivial case where the manifolds (M,g) and (M ,g) are (locally) isometric, we show that (local) non controllability occurs if and only if (M,g) and (M ,g) are either warped products or contact manifolds with additional restrictions that we precisely describe.

Keywords: Development of manifolds, geometric control, controllability, curvature tensor

Class. math. : 53C05, 53C29, 70G45


ISBN : 978-2-85629-838-1
ISSN : 0249-633-X
DOI : 10.24033/msmf.455
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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