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Mémoires de la SMF - Parutions - 146 (2016)

Parutions < 2016

Global aspects of the reducibility of quasiperiodic cocycles in semisimple compact Lie groups
Nikolaos Karaliolios
Mémoires de la SMF 146 (2016), 200 pages
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Résumé :

Ce mémoire porte sur l'étude des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes de Lie compacts semi-simples. Nous nous restreindrons au cas des cocycles à une fréquence. Nous démontrons que, pour un ensemble de fréquences de mesure de Lebesgue pleine, l'ensemble des cocycles C^ qui sont C^-réductibles sont C^-denses. De plus, sous la même condition arithmétique, nous démontrons que tout cocycle (quitte à l'itérer afin de simplifier suffisamment l'homotopie du lacet dans le groupe), est presque tore-réductible (c'est-à-dire qu'il peut être conjugué arbitrairement proche à des cocycles prenant valeurs dans un sous-groupe abélien donné de G). Le premier pas de la démonstration est l'obtention de deux invariants de la dynamique, qu'on appelle énergie et degré, qui distinguent en particulier les cocycles (presque-)réductibles des cocycles non-réductibles. On entamera ensuite la démonstration du théorème principal. Nous démontrons dans un second temps qu'un algorithme dit de renormalisation permet de ramener l'étude de tout cocycle à celle des perturbations de modèles simples indexés par le degré. Nous analysons ensuite ces perturbations par des méthodes inspirées de la théorie K.A.M.

Mots-clefs : Théorie K.A.M., Renormalisation, Cocycles Quasi-périodiques, Groupes de Lie Compacts Semi-simples

Abstract:
In this mémoire we study quasiperiodic cocycles in semi-simple compact Lie groups. For the greatest part of our study, we will focus ourselves to one-frequency cocyles. We will prove that C^-reducible cocycles are dense in the C^ topology, for a full measure set of frequencies. Moreover, we will show that every cocycle (or an appropriate iterate of it, if homotopy appears as an obstruction) is almost torus-reducible (i.e. can be conjugated arbitrarily close to cocycles taking values in an abelian subgroup of G). In the course of the proof we will firstly define two invariants of the dynamics, which we will call energy and degree and which give a preliminary distinction between (almost-)reducible and non-reducible cocycles. We will then take up the proof of the density theorem. We will show that an algorithm of renormalization converges to perturbations of simple models, indexed by the degree. Finally, we will analyze these perturbations using methods inspired by K.A.M. theory.

Keywords: K.A.M. theory, Renormalization, Quasiperiodic Cocycles, Compact Semisimple Lie Groups

Class. math. : 37C55, 37C05


ISBN : 978-2-85629-832-9
ISSN : 0249-633-X
DOI : 10.24033/msmf.454