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Mémoires de la SMF - Parutions - 145 (2016)

Parutions < 2016

Ground state energy of the magnetic Laplacian on corner domains
Virginie Bonnaillie-Noël, Monique Dauge, Nicolas Popoff
Mémoires de la SMF 145 (2016), viii+138 pages
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Résumé :
Niveau fondamental du laplacien magnétique dans des domaines à coins
Le comportement asymptotique de la première valeur propre du Laplacien magnétique en présence d'un champ de forte intensité et avec les conditions de Neumann sur un domaine régulier, est caractérisé en dimension 2 et 3 par des problèmes modèles à l'intérieur du domaine et sur son bord. En dimension 2, quand il s'agit d'un domaine polygonal, on doit inclure dans l'analyse un nouvel ensemble de problèmes modèles sur des secteurs plans. Dans ce travail, nous considérons la classe générale des domaines à coins. En dimension 3, ceux-ci comprennent en particulier les polyèdres et les cônes de révolution. Nous associons des problèmes modèles non seulement à chaque point de l'adhérence du domaine, mais également à une hiérarchie de structures tangentes associées à des chaînes singulières. Nous explorons des propriétés spectrales de ces problèmes modèles, en particulier la semi-continuité du niveau fondamental et l'existence de vecteurs propres généralisés. Nous démontrons des estimations de reste pour nos formules asymptotiques. Les bornes inférieures sont obtenues à l'aide de partitions de type IMS basées sur des recouvrements à deux échelles des domaines à coins. Les bornes supérieures sont établies grâce à une construction originale de quasimodes, qualifiés de fixes ou glissants selon les propriétés spectrales des problèmes modèles locaux. Une partie de notre analyse s'étend à la dimension quelconque.

Abstract:
The asymptotic behavior of the first eigenvalue of a magnetic Laplacian in the strong field limit and with the Neumann realization in a smooth domain is characterized for dimensions 2 and 3 by model problems inside the domain or on its boundary. In dimension 2, for polygonal domains, a new set of model problems on sectors has to be taken into account. In this work, we consider the class of general corner domains. In dimension 3, they include as particular cases polyhedra and axisymmetric cones. We attach model problems not only to each point of the closure of the domain, but also to a hierarchy of ``tangent substructures'' associated with singular chains. We investigate spectral properties of these model problems, namely semicontinuity and existence of bounded generalized eigenfunctions. We prove estimates for the remainders of our asymptotic formula. Lower bounds are obtained with the help of an IMS type partition based on adequate two-scale coverings of the corner domain, whereas upper bounds are established by a novel construction of quasimodes, qualified as sitting or sliding according to spectral properties of local model problems. A part of our analysis extends to any dimension.

Class. math. : 81Q10, 35J10, 35P15, 47F05, 58G20


ISBN : 978-2-85629-830-5
ISSN : 0249-633-X
DOI : 10.24033/msmf.453