Récemment, les solutions de problèmes aux limites de certaines équations (ou systèmes) elliptiques sous forme divergence à coefficients non mesurables ont été obtenues à partir de celles d'un système d'équations de type Cauchy-Riemann généralisé, dans l'esprit de ce qui est connu pour l'équation de Laplace. Ce système est déterminé par un opérateur d'ordre un de type Dirac sur le bord, dont le calcul fonctionnel holomorphe borné sur $L^2$ s'obtient par des techniques provenant de la solution du problème de Kato. Ce système peut être alors résolu par un semigroupe agissant sur un espace spectral. Ce mémoire décrit les propriétés de ce semigroupe et plus généralement celles du calcul fonctionnel sur d'autres espaces : $L^p$ pour $p$ proche de 2 et, sinon, des espaces de Hardy adaptés. Cela fournit des estimées non-tangentielles maximales et des intégrales d'aires de type Lusin pour les solutions des problèmes aux limites.