SMF - Publications - Mémoires de la SMF - Parutions - 2007

Infinitesimal isospectral deformations of the Grassmannian of 3-planes in R⁶
Jacques Gasqui - Hubert Goldschmidt
Mémoires de la SMF 108 (2007), vi+92 pages
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Résumé :
Déformations infinitésimales isospectrales de la grassmannienne des 3-plans dans R⁶
Ce mémoire a pour cadre la grassmannienne $G^{ \mathbb R}_{n,n}$ des n-plans de ${ \mathbb R}^{2n}$ , avec $n\geq 3$ , et son espace réduit $\bar G^{ \mathbb R}_{n,n},$ qui est l'espace symétrique irréductible, quotient de $G^{ \mathbb R}_{n,n}$ par l'involution envoyant un n-plan sur son orthogonal. Un de nos principaux résultats est la construction de déformations infinitésimales isospectrales non triviales sur $\bar G^{ \mathbb R}_{3,3},$ obtenant ainsi le premier exemple d'espace symétrique irréductible réduit et non infinitésimalement rigide. Nous donnons aussi un critère d'exactitude pour les formes différentielles de degré 1 sur $\bar G^{ \mathbb R}_{n,n},$ mettant en jeu la nullité d'une transformée de Radon.

Mots clefs : Espace symétrique, grassmannienne, transformée de Radon, déformation isospectrale, forme symétrique, condition de Guillemin

Abstract:
We study the real Grassmannian $G^{ \mathbb R}_{n,n}$ of n-planes in ${ \mathbb R}^{2n}$ , with $n\ge 3$ , and its reduced space. The latter is the irreducible symmetric space $\bar G^{ \mathbb R}_{n,n}$ , which is the quotient of the space $G^{ \mathbb R}_{n,n}$ under the action of its isometry which sends a n-plane into its orthogonal complement. One of the main results of this monograph asserts that the irreducible symmetric space $\bar G^{ \mathbb R}_{3,3}$ possesses non-trivial infinitesimal isospectral deformations; it provides us with the first example of an irreducible reduced symmetric space which admits such deformations. We also give a criterion for the exactness of a form of degree one on $\bar G^{ \mathbb R}_{n,n}$ in terms of a Radon transform.

Key words: Symmetric space, Grassmannian, Radon transform, infinitesimal isospectral deformation, symmetric form, Guillemin condition

Class. math. : 44A12, 53C35, 58A10, 58J53

ISBN : 978-2-85629-232-7
ISSN :
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique