Décomposition convexe et concave des variétés projectives réelles
The Convex and Concave Decomposition of Manifolds with Real Projective Structures
- Année : 1999
- Tome : 78
- Format : Électronique, Papier
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : Primary: 57M50; Secondary: 53A20, 53C15
- Nb. de pages : 106
- ISBN : 2-85629-079-5
- ISSN : 0249-633-X
- DOI : 10.24033/msmf.391
Notre but est de décrire les propriétés projectives réelles géométriques des variétés munies de $(\mathbf {R} P^n, {\rm PGL}(n+1, \mathbf {R}))$-structures, où $n\geq 2$, c'est-à-dire des variétés équipées de connexions affines projectivement plates et sans torsion. Nous introduisons la définition de la $i$-convexité, $1\leq i \leq n-1$, due à Carrière et généralisant la convexité usuelle. Nous montrons que, si une variété n'est pas $(n-1)$-convexe, alors un certain objet géométrique, appelé $i$-croissant, existe dans le complété $\check M$ du revêtement universel $\tilde M$ de $M$. De plus, cette dernière propriété entraîne l'existence d'une sous-variété affine d'un certain type dans $M$ et d'une décomposition de $M$ en variétés projectives plus simples, dont certaines sont $(n-1)$-convexes et d'autres affines, plus précisément concaves affines. Une telle décomposition devrait s'avérer utile tout particulièrement en dimension $3$. En particulier, nous l'utiliserons pour ifier les variétés affines radiales de dimension $3$. Ici nous en déduisons enfin une conséquence pour les groupes de Lie affines.