Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.166.231.176
Accès aux édit. élec. : SémCong

Cours spécialisés

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Cours spécialisés - Parutions - 18 (2012)

Parutions

Introduction à la théorie de jauge
Andrei Teleman
Cours spécialisés 18 (2012), 191 pages
Acheter l'ouvrage

Résumé :
L'idée fondamentale de la théorie de jauge (en mathématiques) est d'étudier les espaces de modules des solutions de certains systèmes d'équations à dérivées partielles sur une variété différentiable et d'obtenir des informations sur la variété (par exemple des informations sur son type de difféomorphisme) à partir de ces espaces de modules. En partant de cela on a obtenu les premiers résultats spectaculaires en topologie différentielle 4-dimensionnelle : itemize on a montré que la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable orientée compacte est standard sur Z si cette forme est définie (positivement ou négativement) ce qui, d'après les résultats de Freedman concernant la classification des variétés topologiques, est totalement faux dans le contexte topologique ; on a introduit et calculé explicitement les premiers invariants C^ en dimension 4, à savoir les invariants de Donaldson, à l'aide desquels on a trouvé les premières paires exotiques (paires de 4-variétés différentiables orientées, homéomorphes mais non-difféomorphes). itemize Le but de ce cours spécialisé est de donner une introduction solide à la théorie de jauge et d'en présenter en détail quelques applications importantes en topologie différentielle 4-dimensionnelle, notamment le théorème de Donaldson sur la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable et la conjecture de Van de Ven sur la classification topologique-différentiable des surfaces complexes. Ce cours est essentiellement dédié à la théorie de Seiberg-Witten, qui est accessible aux étudiants, mais il contient aussi des éléments de la théorie de Donaldson : le groupe de jauge d'un fibré principal, les équations de Yang-Mills, les équations d'anti-dualité, des exemples d'espaces de modules de connexions de Yang-Mills. Il est accessible aux étudiants ayant suivi des cours de géométrie différentielle et de topologie algébrique, et qui ont des notions de base de l'analyse moderne (espaces de Sobolev, distributions, opérateurs différentiels).

Mots-clefs : Théorie de jauge, théorie de Seiberg-Witten, theorie de Donaldson, monopoles, Yang-Mills, espaces de modules, variétés différentiables, surfaces complexes

Abstract:
Introduction to gauge theory
The fundamental idea of mathematical gauge theory is to study the moduli spaces of solutions of certain systems of partial differential equations on a differentiable manifold, and to obtain information about this manifold (for instance information on its diffeomorphism type) using them. This idea brought the first spectacular results in 4-dimensional differential topology: itemize One was able to show that the intersection form of a compact, oriented, differentiable 4-manifold is standard over Z whenever it is (positively or negatively) defined. By Freedman's results on the classification of topological 4-manifolds, the analogue statement is definitely false in the topological framework. One was able to introduce and compute explicitly the first C^-invariants in dimension 4, which, in turn, were used to discover the first exotic pairs (i.e. homeomorphic but not diffeomorphic pairs of differentiable 4-manifolds). itemize The goal of these lecture notes is to give a solid introduction to the mathematical gauge theory and to explain in detail some of its important applications in 4-dimensional differential topology, e.g. the Donaldson theorem concerning the intersection form of differentiable 4-manifolds, and the Van de Ven conjecture concerning the differential topological classification of complex surfaces. This book deals essentially with Seiberg-Witten theory, which is easily accessible to the students, but also contains elements of Donaldson theory: the gauge group of a principal fiber-bundle, Yang-Mills equations, ASD-equations, examples of moduli spaces of Yang-Mills equations. These lecture notes are fully accessible to the students who attended lectures on differentiable geometry and algebraic topology, and have a basic background in modern analysis (Sobolev spaces, distributions, differential operators).

Keywords: Gauge theory, Seiberg-Witten theory, Donaldson theory, monopoles, Yang-Mills, moduli spaces, differentiable manifolds, complex surfaces

Class. math. : 57R57, 32Q55, 32G13


ISBN : 978-2-85629-322-5
ISSN : 1284-6090

Bibliographie:

1
Adams, Robert A.
Sobolev spaces
Academic Press, New York-London, 1975
Math Reviews MR0450957
Zentralblatt 314.46030
2
Aronszajn, N.
A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order
J. Math. Pures Appl. 36 (1957) 235–249
Math Reviews MR0092067
Zentralblatt 084.30402
3
Atiyah, M. F. and Hitchin, Nigel J. and Singer, I. M.
Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry
Proc. Roy. Soc. London Ser. A 362 (1978) 425–461
Math Reviews MR506229
4
Aubin, Thierry
Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations
Springer, 1982
Math Reviews MR681859
Zentralblatt 512.53044
5
Barth, Wolf P. and Hulek, Klaus and Peters, Chris A. M. and Van de Ven, Antonius
Compact complex surfaces
Springer, 2004
Math Reviews MR2030225
6
Biquard, Olivier
Les équations de Seiberg-Witten sur une surface complexe non kählérienne
Comm. Anal. Geom. 6 (1998) 173–197
Math Reviews MR1619842
Zentralblatt 978.53121
7
Booss, B. and Bleecker, D. D.
Topology and analysis
Springer, 1985
Math Reviews MR771117
Zentralblatt 551.58031
8
Bourbaki, Nicolas
Variétés différentiables et analytiques
Hermann, 1967/1971 fascicule de résultats, paragraphes 1 à 7, paragraphes 8 à 15
9
Bradlow, Steven B.
Special metrics and stability for holomorphic bundles with global sections
J. Differential Geom. 33 (1991) 169–213
Math Reviews MR1085139
Zentralblatt 697.32014
10
Bredon, Glen E.
Sheaf theory
Springer, 1997
Math Reviews MR1481706
Zentralblatt 874.55001
11
Bröcker, Theodor and Jänich, Klaus
Introduction to differential topology
Cambridge Univ. Press, 1982
Math Reviews MR674117
12
Brussee, Rogier
The canonical class and the C^ properties of Kähler surfaces
New York J. Math. 2 (1996) 103–146
Math Reviews MR1423304
Zentralblatt 881.53057
13
Bryan, James A. and Wentworth, Richard
The multi-monopole equations for Kähler surfaces
Turkish J. Math. 20 (1996) 119–128
Math Reviews MR1392667
Zentralblatt 873.53049
14
15
Donaldson, S. K.
The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 33 (1996) 45–70
Math Reviews MR1339810
Zentralblatt 872.57023
16
Donaldson, S. K. and Kronheimer, P. B.
The Geometry of Four-Manifolds
Oxford Univ. Press, 1990
17
Douady, Adrien
Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 16 (1966) 1–95
Math Reviews MR0203082
Zentralblatt 146.31103
18
Dürr, M. B.
Seiberg-Witten theory and the C^-classification of complex surfaces
Thèse de doctorat, Zürich University (2002)
19
Elkies, Noam D.
A characterization of the <b>Z</b>^n lattice
Math. Res. Lett. 2 (1995) 321–326
Math Reviews MR1338791
20
Fischer, Gerd
Complex analytic geometry
Springer, 1976
Math Reviews MR0430286
Zentralblatt 343.32002
21
Freed, Daniel S. and Uhlenbeck, Karen K.
Instantons and four-manifolds
Springer, 1991
Math Reviews MR1081321
22
Freedman, Michael Hartley
The topology of four-dimensional manifolds
J. Differential Geom. 17 (1982) 357–453
Math Reviews MR679066
Zentralblatt 528.57011
23
Friedman, Robert and Morgan, John W.
Smooth four-manifolds and complex surfaces
Springer, 1994
Math Reviews MR1288304
Zentralblatt 817.14017
24
Friedman, Robert and Morgan, John W.
Algebraic surfaces and Seiberg-Witten invariants
J. Algebraic Geom. 6 (1997) 445–479
Math Reviews MR1487223
Zentralblatt 896.14015
25
Friedman, Robert and Qin, Zhenbo
The smooth invariance of the Kodaira dimension of a complex surface
Math. Res. Lett. 1 (1994) 369–376
Math Reviews MR1302651
Zentralblatt 858.57023
26
Furuta, M.
Monopole equation and the 118-conjecture
Math. Res. Lett. 8 (2001) 279–291
Math Reviews MR1839478
Zentralblatt 984.57011
27
Gallot, S. and Hulin, D. and Lafontaine, J.
Riemannian geometry
Springer, 1987
Math Reviews MR909697
Zentralblatt 636.53001
28
Godement, Roger
Topologie algébrique et théorie des faisceaux
Hermann, 1973
Math Reviews MR0345092
Zentralblatt 275.55010
29
Gompf, Robert E. and Stipsicz, András I.
4-manifolds and Kirby calculus
Amer. Math. Soc., 1999
Math Reviews MR1707327
Zentralblatt 933.57020
30
Griffiths, Phillip and Harris, Joseph
Principles of algebraic geometry
Wiley-Interscience, 1978
Math Reviews MR507725
Zentralblatt 408.14001
31
Hirzebruch, Friedrich
Topological methods in algebraic geometry
Springer, 1966
Math Reviews MR0202713
32
Hirzebruch, Friedrich and Hopf, Heinz
Felder von Flächenelementen in 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten
Math. Ann. 136 (1958) 156–172
Math Reviews MR0100844
Zentralblatt 088.39403
33
Hitchin, Nigel J.
Harmonic spinors
Advances in Math. 14 (1974) 1–55
Math Reviews MR0358873
Zentralblatt 284.58016
34
Hitchin, Nigel J.
On the curvature of rational surfaces
in Differential geometry (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Part 2, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973)
(1975) 65–80
Math Reviews MR0400127
Zentralblatt 321.53052
35
Husemoller, Dale
Fibre bundles
Springer, 1975
Math Reviews MR0370578
Zentralblatt 307.55015
36
Kazdan, Jerry L. and Warner, F. W.
Curvature functions for compact 2-manifolds
Ann. of Math. 99 (1974) 14–47
Math Reviews MR0343205
37
Kobayashi, Shoshichi
Differential geometry of complex vector bundles
Princeton Univ. Press, 1987
Math Reviews MR909698
Zentralblatt 708.53002
38
Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, K.
Foundations of differential geometry I
John Wiley Sons, 1963
39
Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, K.
Foundations of differential geometry II
John Wiley Sons, 1963
40
Kronheimer, P. B. and Mrowka, T. S.
The genus of embedded surfaces in the projective plane
Math. Res. Lett. 1 (1994) 797–808
Math Reviews MR1306022
Zentralblatt 851.57023
41
Lawson, H. Blaine Jr. and Michelsohn, Marie-Louise
Spin geometry
Princeton Univ. Press, 1989
Math Reviews MR1031992
42
LeBrun, Claude
Polarized 4-manifolds, extremal Kähler metrics, and Seiberg-Witten theory
Math. Res. Lett. 2 (1995) 653–662
Math Reviews MR1359969
Zentralblatt 874.53051
43
Li, T. J. and Liu, A.
General wall crossing formula
Math. Res. Lett. 2 (1995) 797–810
Math Reviews MR1362971
Zentralblatt 871.57017
44
Lübke, Martin and Okonek, Christian
Moduli spaces of simple bundles and Hermitian-Einstein connections
Math. Ann. 276 (1987) 663–674
Math Reviews MR879544
45
Lübke, Martin and Teleman, Andrei
The Kobayashi-Hitchin correspondence
World Scientific Publishing Co. Inc., 1995
Math Reviews MR1370660
46
Lübke, Martin and Teleman, Andrei
The universal Kobayashi-Hitchin correspondence on Hermitian manifolds
2006
Math Reviews MR2254074
47
Lupascu, Paul
The abelian vortex equations on Hermitian manifolds
Math. Nachr. 230 (2001) 99–115
Math Reviews MR1854880
Zentralblatt 1018.32014
48
Lupascu, Paul
The Seiberg-Witten equations on Hermitian surfaces
Math. Nachr. 242 (2002) 132–147
Math Reviews MR1916854
Zentralblatt 993.57016
49
Milnor, John W. and Husemoller, Dale
Symmetric bilinear forms
Springer, 1973
Math Reviews MR0506372
Zentralblatt 292.10016
50
Milnor, John W. and Stasheff, James D.
Characteristic classes
Princeton Univ. Press, 1974 Annals of Mathematics Studies, No. 76
Math Reviews MR0440554
Zentralblatt 298.57008
51
Morgan, John W.
The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds
Princeton Univ. Press, 1996
Math Reviews MR1367507
Zentralblatt 846.57001
52
Okonek, Christian and Teleman, Andrei
The coupled Seiberg-Witten equations, vortices, and moduli spaces of stable pairs
Internat. J. Math. 6 (1995) 893–910
Math Reviews MR1354000
Zentralblatt 846.57013
53
Okonek, Christian and Teleman, Andrei
Les invariants de Seiberg-Witten et la conjecture de van de Ven
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995) 457–461
Math Reviews MR1351097
Zentralblatt 867.14013
54
Okonek, Christian and Teleman, Andrei
Seiberg-Witten invariants for manifolds with b+=1 and the universal wall crossing formula
Internat. J. Math. 7 (1996) 811–832
Math Reviews MR1417787
55
Okonek, Christian and Teleman, Andrei
Seiberg-Witten invariants and rationality of complex surfaces
Math. Z. 225 (1997) 139–149
Math Reviews MR1451338
Zentralblatt 883.57022
56
Okonek, Christian and Teleman, Andrei
Gauge theoretical equivariant Gromov-Witten invariants and the full Seiberg-Witten invariants of ruled surfaces
Comm. Math. Phys. 227 (2002) 551–585
Math Reviews MR1910831
Zentralblatt 1037.57025
57
Palais, Richard S.
Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem
Princeton Univ. Press, 1965
58
Palais, Richard S.
Foundations of global non-linear analysis
W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968
Math Reviews MR0248880
59
Smale, S.
An infinite dimensional version of Sard's theorem
Amer. J. Math. 87 (1965) 861–866
Math Reviews MR0185604
Zentralblatt 143.35301
60
Spanier, Edwin H.
Algebraic topology
McGraw-Hill, 1966
Math Reviews MR0210112
Zentralblatt 145.43303
61
Stein, Elias M.
Singular integrals and differentiability properties of functions
Princeton Univ. Press, 1970
Math Reviews MR0290095
62
Taubes, Clifford Henry
GR=SW: counting curves and connections
J. Differential Geom. 52 (1999) 453–609
Math Reviews MR1761081
63
Weil, André
Introduction à l'étude des variétés kählériennes
Hermann, 1971 nouv. éd. corrigée
Math Reviews MR0111056
Zentralblatt 137.41103
64
Wells, R. O. Jr.
Differential analysis on complex manifolds
Springer, 1980
Math Reviews MR608414
65
Witten, Edward
Monopoles and four-manifolds
Math. Res. Lett. 1 (1994) 769–796
Math Reviews MR1306021
Zentralblatt 867.57029