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Cours Spécialisés - Parutions - 9

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Bases cristallines des groupes quantiques
Masaki Kashiwara (rédigé par Charles Cochet)
Cours Spécialisés 9 (2002), viii+115 pages
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Résumé :
Depuis leur introduction par Drinfeld et Jimbo en 1985 lors de l'étude des modèles exacts solubles, les algèbres enveloppantes quantiques sont devenues un des outils principaux pour décrire de nouvelles symétries.

En q=0, on peut trouver une bonne base (dite base cristalline ) des représentations de l'algèbre enveloppante quantique $U_{q}(
\mathfrak {g}
)$ d'une algèbre de Lie semi-simple $
\mathfrak {g}
$.

Une action modifiée des vecteurs racines envoie la base cristalline sur elle-même, lui conférant une structure combinatoire riche. On peut ainsi réduire de nombreuses propriétés des représentations à la combinatoire des bases cristallines.

Dans ce cours, l'auteur présente les bases cristallines ainsi que leur application au calcul des multiplicités des poids et des coefficients du produit tensoriel de deux représentations.

Mots clefs : Base cristalline, groupe quantique

Abstract:
Crystal Bases of Quantum Groups
Since their introduction by Drinfeld and Jimbo in 1985 in the studies of exactly solvable models, enveloping algebras have been one of the most important tools to describe new symmetries.

In q=0, there is a good base (the so-called crystal base ) of the representation of a quantum enveloping algebra $U_{q}(
\mathfrak {g}
)$ of a semi-simple Lie algebra $
\mathfrak {g}
$. A modified action of root vectors sends the crystal base to itself, thus providing a rich combinatorial structure. Therefore one can reduce many properties of representation to the combinatorics of crystal base.

In this book, the author presents crystal bases and their applications to multiplicities and weights of tensor product of two representations.

Key words: Crystal bases, Quantum Groups

Class. math. : 17B37


ISBN : 2-85629-126-0
ISSN : 1284-6090