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Cours spécialisés - Parutions - 10 (2002)

Parutions

Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe. (Réimpression 2016)
Claire Voisin
Cours spécialisés 10 (2002), viii+595 pages
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Résumé :
Ce livre se situe à l'interface de la géométrie différentielle complexe et de la géométrie algébrique complexe. La première partie de l'ouvrage présente les résultats fondamentaux de la théorie de Hodge, incluant quelques chapitres préliminaires sur la géométrie kählérienne et la cohomologie des faisceaux. Elle se conclut sur la notion de structure de Hodge et sur l'étude de sa dépendance vis-à-vis de la structure complexe. La seconde partie, d'un niveau plus avancé, présente les applications de la théorie de Hodge à la géométrie algébrique complexe. Elle débute par une étude de la topologie des familles de variétés algébriques, d'un point de vue à la fois classique et moderne, et se poursuit par des applications de la théorie des variations infinitésimales de structure de Hodge. Elle se conclut enfin par l'exposition des liens entre la théorie de Hodge et celle des cycles algébriques, débouchant sur les fameuses conjectures de Bloch et Beilinson. Ce livre est ainsi destiné aux étudiants doctorants et aux chercheurs, qui y trouveront à la fois un exposé didactique complet et une présentation de l'état de la recherche dans le domaine, initié par Griffiths, des applications de la théorie de Hodge à l'étude des cycles algébriques. Claire Voisin est géomètre algébriste et s’intéresse tout particulièrement à la topologie des variétés algébriques complexes, à la théorie de Hodge et aux cycles algébriques. Elle est professeur au Collège de France depuis 2016.

Mots-clefs : Cohomologie des faisceaux, métrique kählérienne, structure de Hodge, complexes de de Rham, suites spectrales, théorèmes de Lefschetz, connexion de Gauss-Manin, transversalité, classes de cycles, correspondances

Abstract:
Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry
This book borrows its material both from complex differential geometry and complex algebraic geometry. The first part of the book presents the fundamental results of Hodge theory, including a few preliminary chapters on Kähler geometry and sheaf cohomology. It is concluded with the development of the notion of Hodge structure and the study of its variation with respect to the complex structure. The second part, which stands at a more advanced level, presents the applications of Hodge theory to complex algebraic geometry. Its starts with a study of the topology of families of algebraic varieties, both from a classical and modern point of view, and then focuses on the applications of the theory of infinitesimal variations of Hodge structure. The last chapters are devoted to the presentation of the relations between Hodge theory and algebraic cycles, whose conjectural part is the famous Bloch-Beilinson conjecture. This book will be useful for PhD students and for researchers as well. They will find here on one hand a complete didactic exposition and on the other hand an up-to-date presentation of the field, initiated by Griffiths, of applications of Hodge theory to the study of algebraic cycles.

Keywords: Sheaf cohomology, Kähler metric, Hodge structure, de Rham complexes, spectral sequences, Lefschetz theorems, Gauss-Manin connection, transversality, cycle classes, correspondences

Class. math. : 14C, 14D, 32C, 32G


ISBN : 978-2-85629-129-0
ISSN : 1284-6090
Publié avec le concours de : Institut Universitaire de France