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Cours spécialisés - Parutions - 7 (2001)

Parutions

Rudiments de dynamique holomorphe
François Berteloot, Volker Mayer
Cours spécialisés 7, fascicule 1284-6090 (2001), vi+160 pages
(épuisé)

Résumé :
Ce livre est une introduction à l'itération rationnelle. Les aspects les plus classiques de cette théorie fontl'objet des quatre premiers chapitres. On y passe en revue lespropriétés essentielles des ensembles de Julia et de leurscomplémentaires les ensembles de Fatou avec, comme point d'orgue, la classification des composantes de Fatou périodiques et le théorème de non-errance de Sullivan. La seconde partie du livre présente quelques thèmes plus spécifiques. Deux classes d'exemples sont d'abord étudiées: les fractions chaotiques et lesfractions hyperboliques. Les derniers chapitres sont plus ouverts;l'étude des familles holomorphes de fractions rationnelles met en perspective le célèbre problème de Fatou sur la densité des fractions hyperboliques, quant à l'exposé des méthodes potentialistes, il effleure les aspects ergodiques et prépare aux généralisations en dimension supérieure. Certains des développements traités le sont pour la première fois sous forme de livre et plusieurs démonstrations sont originales.

Mots-clefs : Ensemble de Julia, ensemble de Fatou, méthodesquasiconformes, théorème de non-errance de Sullivan,hyperbolicité, dimension de Hausdorff, familles holomorphes, mesurede Green

Abstract:
An introduction to holomorphic dynamics
This book is an introduction to rational iterationtheory. In the first four chapters we deal with the classical theory.The basic properties of the Julia set and its complement the Fatouset are presented; the highpoints of our treatment being theclassification of the components of the Fatou set and Sullivan'snon-wandering theorem. The second part of the book is consecrated tothe study of several topics in more detail. We begin by consideringat length two classes of rational maps: the chaotic maps and thehyperbolic maps. In the closing chapters we include respectively astudy of holomorphic families of rational maps with a view todiscussing Fatou's famous problem concerning the density ofhyperbolic maps and an exposition of the methods of potential theory,touching on questions of ergodicity, which may serve as a preparationfor generalizations in higher dimensions. A number of thedevelopments treated in this text appear for the first time in bookform and we present several original proofs.

Keywords: Julia set, Fatou set, quasiconformal methods,non-wandering Sullivan's theorem, hyperbolicity, Hausdorff dimension,holomorphic families, Green's measure

Class. math. : 37F50, 37F15, 30C62, 37F45, 37A25, 31A05


ISBN : 2-86883-521-X