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Cours Spécialisés - Parutions - 5

Parutions

Une initiation aux inégalités de Sobolev logarithmiques
Gilles Royer
Cours Spécialisés 5 (1999), 128 pages
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Résumé :
Le but de ce cours est d'illustrer l'usage des inégalités de Sobolev logarithmiques en les appliquant à l'ergodicité des systèmes de spins en faible interaction. Ce modèle a été inspiré par les modèles bien moins simples de la théorie des champs pour lesquels E. Nelson a introduit les propriétés d'hypercontractivité qui ont été développées par L. Gross à l'aide de la notion d'inégalité de Sobolev logarithmique. La considération de systèmes de spins réels conduit à des difficultés techniques supplémentaires par rapport au cas des spins bornés, mais permet souvent d'utiliser des outils mathématiques plus familiers et plus variés. On n'aborde qu'un aspect limité du vaste domaine des mesures de Gibbs, bien qu'il soit un important développement, dû à B. Zegarlinski, d'une des idées fondamentales de R.L. Dobrushin. En chemin, on introduit la plupart des notions de base qui seront utiles sur les opérateurs autoadjoints, les processus de diffusions, les mesures de Gibbs. Des compléments et des exercices permettent d'élargir le domaine traité.

Abstract:
A first course on logarithmic Sobolev inequalities
This course is an introduction to logarithmic Sobolev inequalities. We aim to present how they are used to prove the ergodicity of unbounded spins systems under weak interactions. This kind of models was considered in the far more difficult context of field theory, where E. Nelson proved the hypercontractivity property which motivated L. Gross to introduce logarithmic Sobolev inequalities. The unboundedness of the spins causes some technical difficulties, but also leads to use more familiar and varied tools than in the case of finite or bounded spins. We consider only a narrow angle in the wide domain of Gibbs measures, but it is an important development by B. Zegarlinski of one of R.L. Dobrushin's fundamental ideas. We also try to provide most of the basic notions needed for, as self-adjoint operators, diffusions processes and Gibbs measures. Some complements and exercises help to enlarge the domain dealt with.

Class. math. : 47A35, 60J60, 60K35, 35J85, 82C20


ISBN : 2-85629-075-2
ISSN : 1284-6090