Soit $u$ une solution d'une équation de Klein-Gordon quasi-linéaire en dim. 1 d'espace, $\Box u + u = P(u, \partial _t u, \partial _x u; \, \partial _t \partial _x u, \partial ^2_x u)$, où $P$ est un polynôme homogène de degré trois, avec données initiales régulières de taille $\varepsilon \rightarrow 0$. Il est connu que, sous certaines conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l'infini comme $\langle x \rangle ^{-1}$, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi- iques introduite par Delort. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour $u$ lorsque $t \rightarrow +\infty $, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.