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Bulletin de la SMF - Parutions - 145 (2017) 623-642

Parutions < 145

Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces
Rémi Carles, Thomas Kappeler
Bulletin de la SMF 145, fascicule 4 (2017), 623-642

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Résumé :
Croissance de norme avec perte infinie de régularité pour les équations de Schrödinger périodiques en régularité négative
Nous considérons des équations de Schrödinger avec des non-linéarités d'ordre impair 2+1 sur le tore ^d. Nous montrons que pour d2, ces équations sont fortement mal posées dans l'espace de Sobolev H^s pour tout s<0, avec en outre un phénomène de perte infinie de régularité. Dans le cas cubique mono-dimensionnel et sa version renormalisée, nous montrons le même résultat dans H^s, sous l'hypothèse s<-2/3.

Mots-clefs : Équation de Schrödinger non linéaire, cas périodique, caractère bien posé, perte de régularité, optique géométrique, analyse semi-classique

Abstract:
In this paper we consider Schrödinger equations with nonlinearities of odd order 2+1 on ^d. We prove that for d 2, they are strongly illposed in the Sobolev space H^s for any s<0, exhibiting norm-inflation with infinite loss of regularity. In the case of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and its renormalized version we prove such a result for H^s with s< -2/3.

Keywords: Nonlinear Schrödinger equation, periodic case, well-posedness, loss of regularity, geometric optics, semi-classical analysis

Class. math. : 35Q55; 35A01, 35B30, 81Q20


ISSN : 0037-9484
DOI : 10.24033/bsmf.2749
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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