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Bulletin de la SMF - Parutions - 145 (2017) 469-501

Parutions < 145

Galois representations attached to abelian varieties of CM type
Davide Lombardo
Bulletin de la SMF 145, fascicule 3 (2017), 469-501

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Résumé :
Représentations galoisiennes associées aux variétés abéliennes de type CM
Soient K un corps de nombres, A/K une variété abélienne géométriquement simple de type CM et un nombre premier. Nous donnons des bornes explicites sur le degré sur K des extensions K(A[^n]) engendrées par les points de ^n-torsion de A, et quand A est une courbe elliptique nous décrivons le groupe de Galois de K(A_tors)/K tout entier. Cela fournit une version explicite de résultats antérieurs de Serre [17] et Ribet [14], et renforce un théorème de Banaszak, Gajda and Krasoń [2]. Nos bornes sont particulièrement fines quand le type CM de A est non-dégénéré.

Mots-clefs : Multiplication complexe, représentations galoisiennes, courbes elliptiques, groupe de Mumford-Tate

Abstract:
Let K be a number field, A/K be an absolutely simple abelian variety of CM type, and be a prime number. We give explicit bounds on the degree over K of the division fields K(A[^n]), and when A is an elliptic curve we also describe the full Galois group of K(A_tors)/K. This makes explicit previous results of Serre [17] and Ribet [14], and strengthens a theorem of Banaszak, Gajda and Krasoń [2]. Our bounds are especially sharp when the CM type of A is nondegenerate.

Keywords: Complex multiplication, Galois representations, elliptic curves, Mumford-Tate group

Class. math. : 14K22, 11F80, 11G10


ISSN : 0037-9484
DOI : 10.24033/bsmf.2745
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Artin, E. and Tate, J.
Class field theory
AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2009 Reprinted with corrections from the 1967 original
Math Reviews MR2467155 (2009k:11001)
2
Banaszak, G. and Gajda, W. and Krasoń, P.
On Galois representations for abelian varieties with complex and real multiplications
J. Number Theory 100 (2003) 117–132
Math Reviews MR1971250 (2004a:11042)
3
Bhargava, M. and Gross, B. H.
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
in Automorphic representations and L-functions
Tata Inst. Fundam. Res. Stud. Math. 22 (2013) 23–91
Math Reviews MR3156850
4
Hindry, M. and Ratazzi, N.
Points de torsion sur les variétés abéliennes de type GSp
J. Inst. Math. Jussieu 11 (2012) 27–65
Math Reviews MR2862374
5
Kubota, T.
On the field extension by complex multiplication
Trans. Amer. Math. Soc. 118 (1965) 113–122
Math Reviews MR0190144 (32 \#7558)
6
Lang, S.
Complex multiplication
Springer, New York, 1983
Math Reviews MR713612 (85f:11042)
7
Mai, L.
Lower bounds for the ranks of CM types
Journal of Number Theory 32 (1989) 192 - 202
8
Mumford, D.
Families of abelian varieties
in Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965)
(1966) 347–351
Math Reviews MR0206003 (34 \#5828)
9
Nart, E. and Xarles, X.
Additive reduction of algebraic tori
Arch. Math. (Basel) 57 (1991) 460–466
Math Reviews MR1129520 (92m:14056)
10
Neukirch, J.
Class field theory
Springer, Berlin, 1986
Math Reviews MR819231 (87i:11005)
11
Neukirch, J. and Schmidt, A. and Wingberg, K.
Cohomology of Number Fields
Springer, 2013
12
Ono, T.
Arithmetic of algebraic tori
Ann. of Math. 74 (1961) 101–139
Math Reviews MR0124326 (23 \#A1640)
13
Pohlmann, H.
Algebraic cycles on abelian varieties of complex multiplication type
Ann. of Math. 88 (1968) 161–180
Math Reviews MR0228500 (37 \#4080)
14
Ribet, K. A.
Division fields of abelian varieties with complex multiplication
Mém. Soc. Math. France (N.S.) 2 (1980/81) 75–94 Abelian functions and transcendental numbers (Colloq., École Polytech., Palaiseau, 1979)
Math Reviews MR608640 (83e:14029a)
15
Ribet, K. A.
Generalization of a theorem of Tankeev
in Seminar on Number Theory, 1981/1982
(1982) Exp. No. 17, 4
Math Reviews MR695334 (84h:14051)
16
Serre, J.-P.
Corps locaux
Hermann, Paris, 1968 Deuxième édition, Publications de l'Université de Nancago, No. VIII
Math Reviews MR0354618 (50 \#7096)
17
Serre, J.-P.
Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques
Invent. math. 15 (1972) 259–331
Math Reviews MR0387283 (52 \#8126)
18
Serre, J.-P.
Lectures on the Mordell-Weil theorem
Friedr. Vieweg Sohn, Braunschweig, 1997
Math Reviews MR1757192
19
Serre, J.-P. and Tate, J.
Good reduction of abelian varieties
Ann. of Math. 88 (1968) 492–517
Math Reviews MR0236190 (38 \#4488)
20
Shatz, S. S.
Profinite groups, arithmetic, and geometry
Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1972 Annals of Mathematics Studies, No. 67
Math Reviews MR0347778 (50 \#279)
21
Shimura, G. and Taniyama, Y.
Complex multiplication of abelian varieties and its applications to number theory
The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1961
Math Reviews MR0125113 (23 \#A2419)
22
Silverberg, A.
Torsion points on abelian varieties of CM-type
Compos. math. 68 (1988) 241–249
Math Reviews MR971328 (89i:11065)
23
Tsimerman, J.
Brauer-Siegel for arithmetic tori and lower bounds for Galois orbits of special points
J. Amer. Math. Soc. 25 (2012) 1091–1117
Math Reviews MR2947946
24
Voskresenski, V. E.
Algebraic groups and their birational invariants
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998
Math Reviews MR1634406 (99g:20090)