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Bulletin de la SMF - Parutions - 145 (2017) 237-266

Parutions < 145

Jet schemes of normal toric surfaces
Hussein Mourtada
Bulletin de la SMF 145, fascicule 2 (2017), 237-266

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Résumé :
Espaces de jets des surfaces toriques normales
Pour mN, m1, nous déterminons les composantes irréductibles des espaces de m-jets d'une surface torique normales S. Nous donnons des formules pour le nombre de ces composantes et pour leurs dimensions. Ceci permet de déterminer le seuil log-canonique de la surface S plongée dans un espace affine. Quand m varie, ces composantes donnent lieu à des systèmes projectifs, auxquels nous associons un graphe orienté et pondéré. Nous démontrons que, parmi les surfaces toriques, la donnée de ce graphe est équivalente à la donnée du type analytique de S. De plus, nous classifions ces composantes irréductibles via un invariant qu'on appelle indice de spécialité. Nous démontrons que pour m assez large, l'ensemble des composantes avec un indice de spécialité égal à 1, est en correspondance bijective avec l'ensemble des diviseurs exceptionnels qui apparaissent sur la résolution minimale des singularités de S.

Mots-clefs : Jets schemes, toric surfaces, resolution of singularities, Nash problem.

Abstract:
For m, m1, we determine the irreducible components of the m-th jet scheme of a normal toric surface S. We give formulas for the number of these components and their dimensions. This permits to determine the log canonical threshold of a toric surface embedded in an affine space. When m varies, these components give rise to projective systems, to which we associate a weighted oriented graph. We prove that, among toric surfaces, the data of this graph is equivalent to the data of the analytical type of S. Besides, we classify these irreducible components by an integer invariant that we call index of speciality. We prove that for m large enough, the set of components with index of speciality 1, is in 1-1 with the set of exceptional divisors that appear on the minimal resolution of S.

Keywords: Espaces de jets, surfaces toriques, résolution des singularités, problème de Nash.

Class. math. : 14B05, 14E18, 14M25


ISSN : 0037-9484
DOI : 10.24033/bsmf.2736
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Bouvier, Catherine and Gonzalez-Sprinberg, Gérard
Système générateur minimal, diviseurs essentiels et G-désingularisations de variétés toriques
Tohoku Math. J. 47 (1995) 125–149
Math Reviews MR1311446
2
3
de Fernex, Tommaso and Ein, Lawrence and Ishii, Shihoko
Divisorial valuations via arcs
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 44 (2008) 425–448
Math Reviews MR2426354
4
Denef, Jan and Loeser, François
Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration
Invent. math. 135 (1999) 201–232
Math Reviews MR1664700
5
Denef, Jan and Loeser, François
On some rational generating series occurring in arithmetic geometry
in Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II
(2004) 509–526
Math Reviews MR2099079
6
Docampo, Roi
Arcs on determinantal varieties
Trans. Amer. Math. Soc. 365 (2013) 2241–2269
Math Reviews MR3020097
7
Ein, Lawrence and Lazarsfeld, Robert and Mustață, Mircea
Contact loci in arc spaces
Compos. Math. 140 (2004) 1229–1244
Math Reviews MR2081163
8
Ein, Lawrence and Mustață, Mircea
Jet schemes and singularities
in Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 2
Proc. Sympos. Pure Math. 80 (2009) 505–546
Math Reviews MR2483946
9
Goward, Russell A. Jr. and Smith, Karen E.
The jet scheme of a monomial scheme
Comm. Algebra 34 (2006) 1591–1598
Math Reviews MR2229478
10
Ishii, Shihoko
The arc space of a toric variety
J. Algebra 278 (2004) 666–683
Math Reviews MR2071659
11
Ishii, Shihoko and Kollár, János
The Nash problem on arc families of singularities
Duke Math. J. 120 (2003) 601–620
Math Reviews MR2030097
12
Kempf, G. and Knudsen, Finn Faye and Mumford, D. and Saint-Donat, B.
Toroidal embeddings. I
Springer, Berlin-New York, 1973
Math Reviews MR0335518
13
Kontsevich, M.
Lecture at Orsay
(1995)
14
Kouchnirenko, A. G.
Polyèdres de Newton et nombres de Milnor
Invent. math. 32 (1976) 1–31
Math Reviews MR0419433
15
Lejeune-Jalabert, Monique
Arcs analytiques et résolution minimale des singularités des surfaces quasi-homogènes
in Séminaire sur les Singularités des Surfaces 1976/77, exp. no 18
Springer Lecture Notes in Math. 777 (1980) 304–336
16
Lejeune-Jalabert, Monique and Reguera, Ana J.
The Denef-Loeser series for toric surface singularities
in Proceedings of the International Conference on Algebraic Geometry and Singularities (Spanish) (Sevilla, 2001)
Rev. Mat. Iberoamericana 19 (2003) 581–612
Math Reviews MR2023199
17
Lejeune-Jalabert, Monique and Mourtada, Hussein and Reguera, Ana
Jet schemes and minimal embedded desingularization of plane branches
Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Math. RACSAM 107 (2013) 145–157
Math Reviews MR3031267
18
Mourtada, Hussein
Jet schemes of complex plane branches and equisingularity
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 61 (2011) 2313–2336
Math Reviews MR2976313
19
Mourtada, Hussein
Jet schemes of rational double point singularities
in Valuation theory in interaction
EMS Ser. Congr. Rep. (2014) 373–388
Math Reviews MR3329041
20
Mourtada, Hussein
Jet schemes of toric surfaces
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 349 (2011) 563–566
Math Reviews MR2802925
21
Mourtada, Hussein
Jet schemes and generating sequences of divisorial valuations in dimension two
Michigan Math. J. 66 (2017) 155–174
Math Reviews MR3619740
22
Mustață, Mircea
Jet schemes of locally complete intersection canonical singularities
Invent. math. 145 (2001) 397–424
Math Reviews MR1856396
23
Mustață, Mircea
Singularities of pairs via jet schemes
J. Amer. Math. Soc. 15 (2002) 599–615
Math Reviews MR1896234
24
Nash, John F. Jr.
Arc structure of singularities
Duke Math. J. 81 (1995) 31–38 A celebration of John F. Nash, Jr.
Math Reviews MR1381967
25
Nicaise, Johannes
Motivic generating series for toric surface singularities
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 138 (2005) 383–400
Math Reviews MR2138569
26
Oda, Tadao
Convex bodies and algebraic geometry
Springer, Berlin, 1988
Math Reviews MR922894
27
Riemenschneider, Oswald
Zweidimensionale Quotientensingularitäten: Gleichungen und Syzygien
Arch. Math. (Basel) 37 (1981) 406–417
Math Reviews MR643282
28
Teissier, Bernard
Overweight deformations of affine toric varieties and local uniformization
in Valuation theory in interaction
EMS Ser. Congr. Rep. (2014) 474–565
Math Reviews MR3329046
29
Stevens, Jan
Deformations of singularities
Springer, Berlin, 2003
Math Reviews MR1976016
30
Vojta, Paul
Jets via Hasse-Schmidt derivations
in Diophantine geometry
CRM Series 4 (2007) 335–361
Math Reviews MR2349665