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Bulletin de la SMF - Parutions - 144 (2016) 339-368

Parutions < 144

A new two-parameter family of isomonodromic deformations over the five punctured sphere
Arnaud Girand
Bulletin de la SMF 144, fascicule 2 (2016), 339-368

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Résumé :
Une nouvelle famille à deux paramètres de déformations isomonodromiques sur la sphère à cinq trous
Le but de cet article est de décrire une famille explicite à deux paramètres de connexions logarithmiques plates au dessus du plan projectif complexe. Ces connexions sont à monodromie diédrale et leur lieu polaire est une quintique prescrite, composée d'une conique et de trois droites tangentes. Par restriction aux droites génériques, on obtient alors une famille algébrique de déformations isomonodromiques de la sphère à cinq trous. Ceci livre de nouvelles solutions algébriques d'un système de Garnier. Enfin, nous utilisons les formes de Riccati associées à ces connexions pour construire et montrer l'intégrabilité (au sens transversalement projectif) d'une sous-famille de feuilletages de Lotka-Volterra.

Mots-clefs : Déformations isomonodromiques, systèmes de Garnier, connexions logarithmiques plates, feuilletages transversalement projectifs, systèmes de Lotka-Volterra, formes de Riccati, groupes de monodromie diédraux.

Abstract:
The object of this paper is to describe an explicit two-parameter family of logarithmic flat connections over the complex projective plane. These connections have dihedral monodromy and their polar locus is a prescribed quintic composed of a conic and three tangent lines. By restricting them to generic lines we get an algebraic family of isomonodromic deformations of the five-punctured sphere. This yields new algebraic solutions of a Garnier system. Finally, we use the associated Riccati one-forms to construct and prove the integrability (in the transversally projective sense) of a subfamily of Lotka-Volterra foliations.

Keywords: Isomonodromic deformations, Garnier systems, logarithmic flat connections, transversally projective foliations, Lotka-Volterra systems, Riccati forms, dihedral monodromy groups.

Class. math. : 14E22, 20G05, 20G20, 32D15, 32G08, 32G34, 34M50, 34M56, 51N15, 55R10


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Hitchin, N. J.
Poncelet polygons and the Painlevé equations
in Geometry and analysis (Bombay, 1992)
(1995) 151–185
2
Degtyarev, A. I.
Quintics in <b>C</b>P^2 with nonabelian fundamental group
Algebra i Analiz 11 (1999) 130–151
3
Milnor, J.
Morse theory
Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1963
4
Moulin Ollagnier, J.
Corrections and complements to: ``Liouvillian integration of the Lotka-Volterra system'' [Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), no. 2, 307–358]
Qual. Theory Dyn. Syst. 5 (2004) 275–284
5
Moulin Ollagnier, J.
Liouvillian integration of the Lotka-Volterra system
Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001) 307–358
6
Mazzocco, M.
The geometry of the classical solutions of the Garnier systems
Int. Math. Res. Not. 2002 (2002) 613–646
7
Lins Neto, A.
Some examples for the Poincaré and Painlevé problems
Ann. Sci. École Norm. Sup. 35 (2002) 231–266
8
Corlette, K. and Simpson, C.
On the classification of rank-two representations of quasiprojective fundamental groups
Compos. Math. 144 (2008) 1271–1331
9
Cousin, G. and Pereira, J. V.
Transversely affine foliations on projective manifolds
Math. Res. Lett. 21 (2014) 985–1014
10
Diarra, K.
Construction et classification de certaines solutions algébriques des systèmes de Garnier
Bull. Braz. Math. Soc. 44 (2013) 129–154
11
12
Deift, P. and Its, A. and Kapaev, A. and Zhou, X.
On the algebro-geometric integration of the Schlesinger equations
Comm. Math. Phys. 203 (1999) 613–633
13
14
Jimbo, M. and Miwa, T.
Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. II
Phys. D 2 (1981) 407–448
15
Cerveau, D. and Lins Neto, A.
Holomorphic foliations in <b>C</b>P(2) having an invariant algebraic curve
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 41 (1991) 883–903
16
Kollàr, J.
Rational curves on algebraic varieties
Springer, 1999
17
Casale, G.
Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006) 735–779
18
Scárdua, B. A.
Transversely affine and transversely projective holomorphic foliations
Ann. Sci. École Norm. Sup. 30 (1997) 169–204
19
Beauville, A.
Complex Algebraic Surfaces
Cambridge Univ. Press, 1983
20
Girand, A.
Équations d'isomonodromie, solutions algébriques et dynamique
thèse de doctorat, Université de Rennes 1 in preparation