Automorphismes localement algébriques de l'arbre de ${\rm PGL}_2(F)$ et représentations de $\mathfrak o$-torsion
Locally algebraic automorphisms of the ${\rm PGL}_2(F)$-tree and $\mathfrak o$-torsion representations
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- Année : 2015
- Fascicule : 3
- Tome : 143
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 22E50, 20G25, 20E42
- Pages : 433-466
- DOI : 10.24033/bsmf.2694
Soient $F$ un corps local et $\Lambda $ un anneau artinien local de même caractéristique residuelle $p$. Pour $e\in {\mathbb N}$ on definit une catégorie ${\mathfrak C}^{(e)}(\Lambda )$ de systèmes à coefficients dans l'arbre de Bruhat-Tits de ${\rm PGL}_2(F)$, équivariant sous l'action de ${\rm GL}_2(F)$. Il y a un foncteur de la catégorie des représentations de ${\rm GL}_2(F)$ sur $\Lambda $ vers ${\mathfrak C}^{(e)}(\Lambda )$. Si $F={\mathbb Q}_p$, il induit une équivalence entre ${\mathfrak C}^{(1)}(\Lambda )$ et la catégorie des représentations lisses de ${\rm GL}_2(F)$, engendrées par leurs vecteurs invariants sous un sous-groupe pro-$p$ Iwahori. Pour chaque $F$ et $e$, la sous-catégorie des objects dans ${\mathfrak C}^{(e)}(\Lambda )$ à caractère central trivial est équivalente à la catégorie des représentations d'un sous-groupe de ${\rm Aut}(X)$ : le groupe des automorphismes « localement algébriques de niveau $e$ » Pour $e=1$ il y a un foncteur de cette catégorie vers celle des modules sur l'algèbre de pro-$p$ Iwahori usuelle ; c'est une bijection entre objects irréductibles.
Finalement, on propose un foncteur de ${\mathfrak C}^{(e)}(\Lambda )$ vers la catégorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules sur une algèbre d'Iwasawa ${\mathfrak o}[[\widehat {N}^{(1)}_{0,1}]]$ qui contient l'algèbre d'Iwasawa usuelle ${\mathfrak o}[[{N}_{0}]]$.
Corps local, arbre de Bruhat-Tits, algèbre du pro-$p$ Iwahori, $(\varphi ,\Gamma )$-modules