L'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques sur les mots ($\mathbf {WQSym} $), une généralisation non commutative de l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques, peut être munie d'un produit interne qui a des propriétés remarquables de compatibilité aux autres opérations sur $\mathbf {WQSym} $. Cette construction étend des constructions familières et centrales de la théorie des algèbres de Lie libres, des fonctions non commutatives symétriques et de leurs nombreux domaines d'application. Elle permet aussi d'interpréter $\mathbf {WQSym} $ comme algèbre de convolution des endomorphismes linéaires des algèbres quasi-shuffle. Nous utilisons cette interprétation pour étudier la structure fine des algèbres quasi-shuffle (MZVs, algèbres de Rota-Baxter libres...). En particulier, nous étudions leurs opérations d'Adams et prouvons l'existence d'un inverse à gauche canonique à la surjection naturelle vers les indécomposables ; elle donne lieu à une construction combinatoire de leurs générateurs polynomiaux.