Soit $\Sigma $ une surface compacte orientée avec une composante de bord, et soit $\pi $ le groupe fondamental de $\Sigma $. La filtration de Johnson est une suite décroissante de sous-groupes du groupe de Torelli de $\Sigma $, dont le $k$-ième terme est constitué de tous les homéomorphismes de $\Sigma $ agissant trivialement au niveau du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi $. Morita a défini un homomorphisme du $k$-ième terme de la filtration de Johnson vers le troisième groupe d'homologie du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi $. Dans cet article, nous remplaçons les groupes par leurs algèbres de Lie de Malcev et nous étudions une version « infinitésimale » du $k$-ième homomorphisme de Morita, que nous montrons être équivalente à la version originale par un isomorphisme canonique. Nous apportons une description diagrammatique du $k$-ième homomorphisme de Morita infinitésimal et, étant donné un développement du groupe libre $\pi $ qui est « symplectique » en un sens, nous montrons comment cet homomorphisme peut être calculé à partir de l'« application de Johnson totale » introduite par Kawazumi. En outre, nous donnons une interprétation topologique de toute la réduction arborée de l'homomorphisme LMO, qui est une représentation diagrammatique du groupe de Torelli obtenue de l'invariant de Le-Murakami-Ohtsuki des variétés de dimension trois. Plus précisément, un développement symplectique de $\pi $ est construit à partir de l'invariant LMO, et nous montrons que la réduction arborée de l'homomorphisme LMO est équivalente à l'application de Johnson totale correspondant à ce développement. Il en découle que le $k$-ième homomorphisme de Morita coïncide avec la troncation en degré $[k,2k[$ de la réduction arborée de l'homomorphisme LMO. Nos résultats s'appliquent aussi au monoïde des cylindres d'homologie sur $\Sigma $.