Bulletin de la SMF - Parutions - 139 (2011) 97-127
| |
|
|
|
|
Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin
Thomas Roblin
Bulletin de la SMF 139, fascicule 1 (2011), 97-127
Résumé :
Traitant la série de Poincaré d'un groupe discret d'isométries en courbure négative comme un noyau de Green, on établit une théorie du potentiel assez comparable à la théorie classique pour affirmer un parallèle entre densités conformes à la Patterson-Sullivan et densités harmoniques, et notamment définir une frontière de Martin où les densités ergodiques forment la partie minimale, et enfin l'identifier géométriquement sous hypothèse d'hyperbolicité.
Mots-clefs : Mesures de Patterson-Sullivan, groupes discrets, courbure négative, théorie du potentiel, frontière de Martin, groupes hyperboliques
Abstract:
Harmonic behaviour of conformal densities and Martin boundary
By treating the Poincaré series of a discrete group of isometries in negative curvature like a Green kernel, we set up a potential theory enough comparable to the classical theory, which allows us to draw a parallel between conformal densities and harmonic densities, and in particular to define a Martin boundary in which ergodic densities make up the minimal part, and even to give a geometrical identification of it under a hyperbolicity assumption.
Keywords: Patterson-Sullivan measures, discrete groups, negative curvature, potential theory, Martin boundary, hyperbolic groups
Class. math. : 37F35, 20F65, 20F67, 22E40, 31C35, 31E99
ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique
Bibliographie:
- 1
- Ancona, Alano
- Théorie du potentiel sur les graphes et les variétés
- in École d'été de Probabilités de Saint-Flour XVIII—1988
- Lecture Notes in Math. 1427 (1990) 1–112
- Math Reviews MR1100282 (92g:31012)
- Zentralblatt 719.60074
- 2
- Ancona, Alano
- Negatively curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary
- Ann. of Math. 125 (1987) 495–536
- Math Reviews MR890161 (88k:58160)
- Zentralblatt 652.31008
- 4
- Ballmann, Werner and Ledrappier, François
- Discretization of positive harmonic functions on Riemannian manifolds and Martin boundary
- in Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992)
- Sémin. Congr. 1 (1996) 77–92
- Math Reviews MR1427756 (97m:58207)
- Zentralblatt 885.53037
- 5
- Beardon, Alan F.
- The geometry of discrete groups
- Springer, 1983
- Math Reviews MR698777 (85d:22026)
- Zentralblatt 528.30001
- 6
- Bourdon, Marc
- Structure conforme au bord et flot géodésique d'un
-espace
- Enseign. Math. 41 (1995) 63–102
- Math Reviews MR1341941 (96f:58120)
- 7
- Choquet, Gustave
- Les noyaux réguliers en théorie du potentiel
- C. R. Acad. Sci. Paris 243 (1956) 635–638
- Math Reviews MR0080758 (18,295e)
- Zentralblatt 073.32104
- 8
- Choquet, Gustave
- Lectures on analysis. Vol. II: Representation theory
- W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969
- Math Reviews MR0250012 (40 \#3253)
- Zentralblatt 181.39602
- 9
- Connell, Chris and Muchnik, Roman
- Harmonicity of quasiconformal measures and Poisson boundaries of hyperbolic spaces
- Geom. Funct. Anal. 17 (2007) 707–769
- Math Reviews MR2346273 (2009e:60179)
- Zentralblatt 1166.60323
- 10
- Dellacherie, Claude and Meyer, Paul-André
- Probabilities and potential
- North-Holland Publishing Co., 1978
- Math Reviews MR521810 (80b:60004)
- Zentralblatt 494.60001
- 12
- Gromov, M.
- Hyperbolic groups
- in Essays in group theory
- Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8 (1987) 75–263
- Math Reviews MR919829 (89e:20070)
- Zentralblatt 634.20015
- 13
- Ledrappier, François
- Harmonic measures and Bowen-Margulis measures
- Israel J. Math. 71 (1990) 275–287
- Math Reviews MR1088820 (92a:58107)
- Zentralblatt 728.53029
- 14
- Lyons, Terry and Sullivan, Dennis
- Function theory, random paths and covering spaces
- J. Differential Geom. 19 (1984) 299–323
- Math Reviews MR755228 (86b:58130)
- Zentralblatt 554.58022
- 15
- Martin, Robert S.
- Minimal positive harmonic functions
- Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941) 137–172
- Math Reviews MR0003919 (2,292h)
- Zentralblatt 025.33302
- 16
- Ohtsuka, Makoto
- Les relations entre certains principes en théorie du potentiel
- Proc. Japan Acad. 33 (1957) 37–40
- Math Reviews MR0094605 (20 \#1118)
- Zentralblatt 083.09403
- 17
- Patterson, S. J.
- The limit set of a Fuchsian group
- Acta Math. 136 (1976) 241–273
- Math Reviews MR0450547 (56 \#8841)
- Zentralblatt 336.30005
- 18
- Roblin, Thomas
- Sur la fonction orbitale des groupes discrets en courbure négative
- Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002) 145–151
- Math Reviews MR1881574 (2002m:37038)
- Zentralblatt 1008.20040
- 19
- Roblin, Thomas
- Ergodicité et unique ergodicité du feuilletage horosphérique, mélange du flot géodésique et équidistributions diverses dans les groupes discrets en courbure négative
- Mém. Soc. Math. Fr. 95 (2003)
- 20
- Roblin, Thomas
- Un théorème de Fatou pour les densités conformes avec applications aux revêtements galoisiens en courbure négative
- Israel J. Math. 147 (2005) 333–357
- Math Reviews MR2166367 (2006i:37065)
- Zentralblatt pre05196723
- 21
- Sullivan, Dennis
- The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions
- Publ. Math. I.H.É.S. 50 (1979) 171–202
- Math Reviews MR556586 (81b:58031)
- Zentralblatt 439.30034
- 22
- Sullivan, Dennis
- Related aspects of positivity in Riemannian geometry
- J. Differential Geom. 25 (1987) 327–351
- Math Reviews MR882827 (88d:58132)
- Zentralblatt 615.53029
