Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.234.228.185
Accès aux édit. élec. : SémCong

Bulletin de la SMF

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

----------------------------------------------------------------------

Bulletin de la SMF - Parutions - 135 - pages 47-64

Parutions135

Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth

Romain Tessera

Bulletin de la Société Mathématique de France 135, fascicule 1 (2007), 47-64

Télécharger cet article : Fichier PDF

Résumé :

Soit pG  un groupe localement compact, compactement engendré et pU  une partie compacte génératrice. On prouve que si G est à croissance polynomiale, alors la suite des puissances de pU  forme une suite de Følner et on montre que le rapport pμ(Unμ+(U1n\U)n)  tend polynomialement vers p0  . La démonstration n’utilise que deux ingrédients : le fait qu’un groupe à croissance polynomiale est doublant, et une propriété de faible géodésicité : la propriété (M). Par conséquent ce résultat s’étend à une large classe d’espaces métriques mesurés doublants, comme les graphes et les variétés riemanniennes. Comme application, nous obtenons un théorème ergodique presque sûr et dans pLp  (p1 ≤ p < ∞ ) pour les moyennes sur les boules d’un groupe à croissance polynomiale.

Mots clefs : Isopérimétrie, sphères, groupes localement compacts, croissance du volume dans les groupes, espaces métriques mesurés, propriété de doublement

Abstract :

Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth

Let pG  be a compactly generated locally compact group and let pU  be a compact generating set. We prove that if pG  has polynomial growth, then p(Un )n∈ℕ   is a Følner sequence and we give a polynomial estimate of the rate of decay of pμ(Un+1\Un-).
  μ(Un)  Our proof uses only two ingredients: the doubling property and a weak geodesic property that we call Property (M). As a matter of fact, the result remains true in a wide class of doubling metric measured spaces including manifolds and graphs. As an application, we obtain a   p
pL  -pointwise ergodic theorem (p1 ≤ p < ∞ ) for the balls averages, which holds for any compactly generated locally compact group pG  of polynomial growth.

Keywords : Isoperimetry, spheres, locally compact groups, volume growth in groups, metric measure Spaces, Doubling Property

Class. math. : Primary 20F65; Secondary 51F99


ISSN : 0037-9484

Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique


Bibliographie :

1
Bewley, T.
Extension of the Birkhoff and von Neumann ergodic theorems to semigroup actions
(1971)
Math Reviews 306444
Zentralblatt 226.28009
2
Breuillard, E.
Geometry of groups of polynomial growth and shape of large balls
preprint
3
Chatard, J.
Applications des propriétés de moyenne d’un groupe localement compact à la théorie ergodique
Ann. Inst. Henri Poincaré, 6 (1970) 307-326, 473-499
Math Reviews 297965
4
Colding, Tobias and Minicozzi, William
Liouville theorems for harmonic sections and applications
Comm. Pure. Appl. Math., 51 (1998) 113-138
Math Reviews MR1488297 (98m:53053)
5
Coulhon, T. and Saloff-Coste, L.
Isopérimétrie pour les groupes et les variétés
Rev. Mat. Iberoamericana, 9 (1993) 293-314
Math Reviews 1232845
Zentralblatt 782.53066
6
Emerson, W. R.
The pointwise ergodic theorem for amenable groups
Amer. J. Math., 96 (1974) 472-487
Math Reviews 354926
7
Emerson, W. R. and Greenleaf, F.
Asymptotic behavior of products pEp = E + ⋅⋅⋅+ E  in locally compact abelian groups
Trans. Amer. Math. Soc., 145 (1969) 171
Math Reviews 249535
8
Greenleaf, F.
Invariant Means on Topological Groups and Their Applications
American Book Company, 1969
Math Reviews 251549
Zentralblatt 174.19001
9
Gromov, M.
Groups of polynomial growth and expanding maps
Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 53 (1981) 53-73
Math Reviews 623534
Zentralblatt 474.20018
10
Gromov, M.
Asymptotic invariants of groups
Cambridge University Press, 1993
Math Reviews 1253544
Zentralblatt 841.20039
11
Guivarc’h, Y.
Croissance polynomiale et périodes des fonctions harmoniques
Bull. Soc. Math. France, 101 (1973) 333-379
Math Reviews 369608
Zentralblatt 294.43003
12
Kawada, Y.
Über den Mittelwert der messbaren fast-periodischen Funktionen auf einer Gruppe
Proc. Imp. Acad. (Tokyo), 19 (1943) 120-122
13
Losert, V.
On the structure of Groups with Polynomial Growth
Math. Z., 195 (1986) 109-118
Math Reviews 888132
14
Losert, V.
On the structure of Groups with Polynomial Growth II
London Math. Soc., 63 (2001) 640-654
Math Reviews 1825980
Zentralblatt 1010.22008
15
Mostow, G. D.
Some applications of representative functions to solvmanifolds
Amer. J. Math., 93 (1971) 11-32
Math Reviews 283819
16
Nevo, A.
Pointwise ergodic theorems for actions of groups
2005, to appear in Handbook of Dynamical Systems, Vol. 1B
Math Reviews 2186253
17
Pansu, P.
Croissance des boules et des géodésiques fermées dans les nilvariétés
Ergodic Theory Dynam. Systems, 3 (1983) 415-445
Math Reviews 741395
Zentralblatt 509.53040
18
Pittet, C.
The isoperimetric profile of homogeneous Riemannian manifolds
J. Differential Geom., 54 (2000) 255-302
Math Reviews 1818180
Zentralblatt 1035.53069
19
Pittet, C. and Saloff-Coste, L.
A survey on the relationships between volume growth, isoperimetry, and the behaviour of simple random walk on Cayley graphs, with examples
1997, unpublished manuscript
20
Tempelman, A.
Ergodic theorems for general dynamical systems
Sov. Math. Dokl., 8 (1992) 1213-1216
21
Tessera, R.
Asymptotic isoperimetry of balls in metric measure spaces
Publ. Mat., 50 (2006) 315-348
Math Reviews 2273664
22
Varopoulos, N.
Analysis on Lie groups
J. Funct. Anal., 76 (1988) 346-410
Math Reviews 924464
23
Wang, H. C.
Discrete subgroups of solvable Lie groups
Ann. of Math., 64 (1956) 1-19
Math Reviews 78645