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Bulletin de la SMF - Parutions - 135 - pages 343-365

Parutions135

Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé

Pierre-Louis Montagard, Nicolas Ressayre

Bulletin de la Société Mathématique de France 135, fascicule 1 (2007), 135-169

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Résumé :

Soient pG ⊂ ˆG  deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons pD (resp. pDˆ ) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de pG  (resp. de pGˆ  ). Nous nous intéressons à l’ensemble pC des couples p(μ,ˆν)  dans pD × ˆD pour lesquels un pGˆ -module de classe pˆν  contient un sous-pG  -module de classe pμ  . Il est bien connu que pC engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de pG  avec le groupe des caractères de pGˆ  . Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant pD induit une face de codimension un du cône engendré par pC . Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).

Mots clefs : Représentations, décomposition de représentations, cône de Littlewood-Richarson, produit tensoriel, pléthysme

Abstract :

About some faces of the generalized Littlewood-Richardson cone

Let pˆG  be a connected reductive algebraic group and pG  be a reductive closed and connected subgroup of pˆG  both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let pD (resp. pˆD ) the set of isomorphism classes of irreducible representations of pG  (resp. pGˆ  ). We consider the set of elements p(μ,νˆ) ∈ (D, ˆD)  such that an irreducible pG  -module of class pμ  is a submodule of a pGˆ  -module of class pˆν  . This set generate a polyhedral cone pC in the rational vector space generated by the product of characters of pG  and pGˆ  . By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining pD to induce a face of codimension one of pC . We apply our results to several classical example in representation theory (tensor products and plethysm).

Keywords : Representation theory, decomposition, Littlewood-Richarson cone, tensor products, plethysm

Class. math. : 20G05


ISSN : 0037-9484

Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique


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