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Bulletin de la SMF - Parutions - 135 - pages 259-282

Parutions135

Topological disjointness from entropy zero systems

Wen Huang, Kyewon Koh Park, Xiangdong Ye

Bulletin de la Société Mathématique de France 135, fascicule 1 (2007), 135-169

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Résumé :

Nous étudions les propriétés des systèmes topologiques dynamiques p(X, T)  qui sont disjoints de tout système minimal d’entropie nulle pM0  . Contrairement au cas mesurable, il est connu que les pK  -systèmes topologiques constituent un sous-ensemble propre des systèmes disjoints de pM0  . Nous montrons que p(X,T )  a une mesure invariante à support plein, et que si, de plus, p(X, T)  est transitif alors il est faiblement mélangeant. Nous construisons un système diagonal transitif avec un seul point minimal. Par conséquent, il existe un sous-ensemble grassement syndétique de pℤ+  , qui contient un sous-ensemble de pℤ+  , provenant d’un système minimal d’entropie positive, mais qui ne contienne aucun sous-ensemble de pℤ+  provenant d’un système minimal d’entropie nulle. D’autre part, nous étudions les propriétés des systèmes topologiques dynamiques p(X, T)  qui sont disjoints de classes plus larges de systèmes à entropie nulle.

Mots clefs : Disjonction, minimalité, entropie, densité

Abstract :

Topological disjointness from entropy zero systems

The properties of topological dynamical systems p(X,T )  which are disjoint from all minimal systems of zero entropy, pM0  , are investigated. Unlike the measurable case, it is known that topological pK  -systems make up a proper subset of the systems which are disjoint from pM0  . We show that p(X,T )  has an invariant measure with full support, and if in addition p(X, T)  is transitive, then p(X,T )  is weakly mixing. A transitive diagonal system with only one minimal point is constructed. As a consequence, there exists a thickly syndetic subset of pℤ+  , which contains a subset of pℤ+  arising from a positive entropy minimal system, but does not contain any subset of pℤ+  arising from a zero entropy minimal system. Moreover we study the properties of topological dynamical systems p(X, T)  which are disjoint from larger classes of zero entropy systems.

Keywords : Disjointness, minimality, entropy, density

Class. math. : 54H20


ISSN : 0037-9484

Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique


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