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Bulletin de la SMF - Parutions - 135 - pages 215-246

Parutions135

Valeur en p2  de fonctions pL  de formes modulaires de poids p2  : théorème de Beilinson explicite

François Brunault

Bulletin de la Société Mathématique de France 135, fascicule 1 (2007), 135-169

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Résumé :

Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire pX1 (N )  . Ce résultat est la première étape d’un travail reliant, d’une part, la valeur en p2  de la fonction pL  d’une forme primitive de poids p2  , et d’autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l’esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où pN  est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl concernant l’image de l’application régulateur de Beilinson.

Mots clefs : pK  -théorie algébrique, conjecture de Beilinson, fonction pL  , valeur spéciale, régulateur, forme modulaire, courbe modulaire, courbe elliptique, dilogarithme

Abstract :

Value at p2  of pL  -functions of modular forms of weight p2  : an explicit version of Beilinson’s theorem

We prove an explicit version of Beilinson’s theorem for the modular curve pX1 (N )  . This result is the first step of a work linking the value at p2  of the pL  -function of a newform of weight 2 on the one hand, and the dilogarithm function associated to the corresponding modular curve on the other, in the spirit of Zagier’s conjecture for elliptic curves. As a corollary of our theorem, in the case pN  is prime, we answer a question raised by Schappacher and Scholl concerning the image of Beilinson’s regulator map.

Keywords : algebraic pK  -theory, Beilinson’s conjecture, pL  -function, special value, regulator, modular form, modular curve, elliptic curve, dilogarithm

Class. math. : 11F67, 11G40, 19F27


ISSN : 0037-9484

Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique


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