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Bulletin de la SMF - Parutions - 135 - pages 135-169

Parutions135

Sur le nombre de points visités par une marche aléatoire sur un amas infini de percolation

Clément Rau

Bulletin de la Société Mathématique de France 135, fascicule 1 (2007), 135-169

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Résumé :

On s’intéresse à une marche aléatoire simple sur un amas infini issu d’un processus de percolation surcritique sur les arêtes de pℤd (d ≥ 2)  de loi pQ  . On montre que la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps pn  , noté pNn  , a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans pℤd  . Plus précisément, on établit que pour tout p0 < α < 1  , il existe des constantes pCi  , pCs > 0  telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l’origine appartienne à l’amas infini et pour pn  assez grand,

     d∕(d+2)                 d∕(d+2)
e- Cin      ≤ 𝔼ω0(αNn) ≤ e- Csn     .
Le point principal du travail réside dans l’obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une inégalité isopérimétrique sur l’amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet alors d’obtenir une majoration de la probabilité de retour d’une certaine marche sur ce produit en couronne. L’introduction d’un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe s’interprète comme l’espérance de la transformée de Laplace du nombre de points visités.

Mots clefs : Inégalité isopérimétrique, nombre de points visités, percolation, produit en couronne

Abstract :

On the number of distinct visited sites by a random walk on the infinite cluster of the percolation model

We consider random walk on the infinite cluster of the percolation model on the edges of pℤd (d ≥ 2)  with law pQ  , in the surcritical case. We prove that the Laplace transformation of the number of visited sites up to time pn  , called pNn  , has the same behaviour as the random walk on pℤd  . More precisely, we show for all p0 < α < 1  , there exists some constants pCi, Cs > 0  such that for almost all realisations of the percolation such that the origin belongs to the infinite cluster and for large enough pn  ,

e- Cind∕(d+2) ≤ 𝔼ω0(αNn) ≤ e- Csnd∕(d+2).
The main work is to get the upper bound. Our approach is based, first on finding an isoperimetric inequality on the infinite cluster and secondly to lift it on a wreath product, which enables us to get an upper bound of the return probability of a particular random walk. The introduction of a wreath product is motivated by the fact that the return probability on such graph is linked to the Laplace transform of distinct visited sites.

Keywords : Isoperimetric inequality, number of distinct visited sites, percolation, wreath product

Class. math. : 60J10, 60K35


ISSN : 0037-9484

Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique


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