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Bulletin de la SMF - Parutions - 134 - pages 83-117

Parutions134

Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple
Anne Moreau
Bulletin de la Société mathématique de France 134, fascicule 1 (2006), 83-117
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Résumé :
L'indice d'une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $
\mathfrak {g}
$ est semi-simple, son indice, $\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {g}
$, est égal à son rang, $\mathop{\mathrm{rg}}
\mathfrak {g}
$. Le but de cet article est d'établir une formule générale pour l'indice de $
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e})$ pour e nilpotent, où $
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e})$ est le normalisateur dans $
\mathfrak {g}
$ du centralisateur $
\mathfrak {g}
^{e}$ de e. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :

\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e}) = ...
 ...rg}}
\mathfrak {g}
-\dim 
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e}), \end{displaymath}

$
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e})$ est le centre de $
\mathfrak {g}
^{e}$. Panyushev obtient l'inégalité ${\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e}) \geq \mathop{\mathrm{rg}}
\mathfrak {g}
-\dim 
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e})}$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d'une certaine matrice à coefficients dans l'algèbre symétrique ${\mathcal S}(
\mathfrak {g}
^{e})$ implique l'autre inégalité. L'article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

Mots clefs : Indice, représentation, algèbre de Lie, normalisateur, centralisateur, élément nilpotent

Abstract:
The index of the normaliser of the centraliser of a nilpotent element in a semisimple Lie algebra
The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $
\mathfrak {g}
$ semisimple, then its index, $\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {g}
$, is equal to its rank, ${\rm rk}~
\mathfrak {g}
$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e})$, for e nilpotent, where $
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e})$ is the normaliser in $
\mathfrak {g}
$ of the centraliser $
\mathfrak {g}
^{e}$ of e. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003):

\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e}) = ...
 ...rk}~
\mathfrak {g}
-\dim 
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e}), \end{displaymath}

where $
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e})$ is the centre of $
\mathfrak {g}
^{e}$. Panyushev (2003) obtained the inequality ${\mathop{\mathrm{ind}}
\mathfrak {n}
(
\mathfrak {g}
^{e}) \geq \mathop{\mathrm{rg}}
\mathfrak {g}
-\dim 
\mathfrak {z}
(
\mathfrak {g}
^{e})}$ and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra ${\mathcal S}(
\mathfrak {g}
^{e})$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

Key words: index, representation, Lie algebra, normaliser, centraliser, nilpotent element

Class. math. : 22-04, 22E46, 22E60, 17B10, 17B20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique