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Bulletin de la SMF - Parutions - 134 - pages 509-557

Parutions134

Pointed k-surfaces
Graham Smith
Bulletin de la Société mathématique de France 134, fascicule 4 (2006), 509-557
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Résumé :
k-surfaces à points
Soit S une surface de Riemann. Soit $
\mathbb 
H^3$ l'espace hyperbolique de dimension 3 et soit $\partial _\infty 
\mathbb 
H^3$ son bord à l'infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty 
\mathbb 
H^3=\hat {
\mathbb 
C}$. Si $i:S\rightarrow 
\mathbb 
H^3$ est une immersion convexe, et si N est son champ de vecteurs normal, on définit $\hat \imath $, la relevée de Gauss de i, par $\hat \imath =N$. Soit $\overrightarrow {n}:U
\mathbb 
H^3\rightarrow \partial _\infty 
\mathbb 
H^3$ l'application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $(S,\varphi )$ est une immersion convexe i à courbure gaussienne constante égale à $k\in \mathopen ]0,1\mathclose [$ telle que sa relevée de Gauss $(S,\hat \imath )$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\overrightarrow {n}\circ \hat \imath =\varphi $. Dans cet article, on montre que, si S est une surface de Riemannn compacte, si $\mathcal P$ est un sous-ensemble discret de S et si $\varphi :S\rightarrow \hat {
\mathbb 
C}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout $p_0\in \mathcal P$, la solution $(S\setminus \mathcal P,i)$ au problème de Plateau $(S\setminus \mathcal P,\varphi )$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s'enroule un nombre fini k de fois autour d'une géodésique ayant $\varphi (p_0)$ pour une de ses extrémités lorsqu'on s'approche de p0. De plus, k est égale à l'ordre de ramification de $\varphi $ en p0. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans $
\mathbb 
H^3$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.

Mots clefs : Hypersurfaces immergées, courbes pseudo-holomorphes, problème de Plateau, courbure gaussienne, théorie de Teichmüller

Abstract:
Let S be a Riemann surface. Let $
\mathbb 
H^3$ be the 3-dimensional hyperbolic space and let $\partial _\infty 
\mathbb 
H^3$ be its ideal boundary. In our context, a Plateau problem is a locally holomorphic mapping $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty 
\mathbb {H}
^3=\widehat {
\mathbb {C}
}$. If $i:S\rightarrow 
\mathbb 
H^3$ is a convex immersion, and if N is its exterior normal vector field, we define the Gauss lifting, $\hat \imath $, of i by $\hat \imath =N$. Let $\overrightarrow {n}:U
\mathbb 
H^3\rightarrow \partial _\infty 
\mathbb 
H^3$ be the Gauss-Minkowski mapping. A solution to the Plateau problem $(S,\varphi )$ is a convex immersion i of constant Gaussian curvature equal to $k\in (0,1)$ such that the Gauss lifting $(S,\hat \imath )$ is complete and $\overrightarrow {n}\circ \hat \imath =\varphi $. In this paper, we show that, if S is a compact Riemann surface, if $\mathcal P$ is a discrete subset of S and if $\varphi :S\rightarrow \widehat {
\mathbb {C}
}$ is a ramified covering, then, for all $p_0\in \mathcal P$, the solution $(S\setminus \mathcal P,i)$ to the Plateau problem $(S\setminus \mathcal P,\varphi )$ converges asymptotically as one tends to p0 to a cylinder wrapping a finite number, k, of times about a geodesic terminating at $\varphi (p_0)$. Moreover, k is equal to the order of ramification of $\varphi $ at p0. We also obtain a converse of this result, thus completely describing complete, constant Gaussian curvature, immersed hypersurfaces in $
\mathbb 
H^3$ with cylindrical ends.

Key words: Immersed hypersurfaces, pseudo-holomorphic curves, contact geometry, Plateau problem, Gaussian curvature, hyperbolic space, moduli spaces, Teichmüller theory

Class. math. : 53C42 (30F60, 32Q65, 51M10, 53C45, 53D10, 58D10


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique