Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta $-régularisé $\det _\zeta A$ d'un opérateur de Schrödinger $A=\Delta _g+V$ sur une variété compacte $\mathcal M $. Nous construisons, pour $\mathcal M =S^1 \times S^1$, une suite $(G_n,\rho _n, \Delta _n)$ où $G_n$ est un graphe fini qui se plonge dans $\mathcal M $ via $\rho _n$ de telle manière que $\rho _n(G_n)$ soit une triangulation de $\mathcal M $ et où $\Delta _n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $\mathcal M $, la suite de réels $\det (\Delta _n+V)$ converge après renormalisation vers $\det _\zeta (\Delta _g+V)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(\mathcal M ,g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d'isométries transitif, un majorant du déterminant $\det _\zeta (\Delta _g+V)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.